数制转换

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最近受网友的邀请，就写一篇入门的教学文章。不过对于已经有一定实力水平的人来说，入门级的东西反而对于他（她）们来说不容易解释清楚，我也想挑战一下自己，看看我能把一些基础问题怎么解释能让智商80的人也能看明白（虽然这样说有点夸张），所以文章的标题就叫做“傻瓜学习C语言进制转换”，不过也不是没有要求的，要求是，看本文的时候，请你一定要按顺序看，并且要确定你会写这样一个c程序：输入一个int，分解出它的个位，十位，百位（提示：要用’%'求模运算和’/'整除运算）。。。。。。

1.数值与进制
数值与进制是两个不同的东西。数值是什么？100，200这种并不是数值。
什么是数值？古代的时候，人们记数，有一个物品就记一块石头，或者有11个物品，就打11个绳结，这就是数值，如果你要表示1000，那你还真的需要打1000个绳结来表示。可问题就是，这样子你会累死，为了不用累死，于是他们发明了另一种表达方式：准备两种不同的石头A和B，有一个，那就用一块A石头表示，两个就用两块A表示，如果太多了，比如10个，就用一块B石头来表示有10个A石头，比如AAAAABB表示25个。但是，如果表达的数值更大，那就再多准备一种石头C，每10个B石头就用一个C石头来表示，比如AABCC表示212。于是，这样就可以大大减少所需要的石头的数目，而这，就是进制。
进制是数值的一种表示方式

2.数值与进制的转化
进制是为了表示一个数值，如果是每10个进一，那么就是我们熟悉的10进制，否则，如果是每k个进一，那就是k进制，比如我们的时间，是每60秒记1分钟，这就是60进制。然后，怎么把一个用特定进制的表示，得到它的数值呢？很简单，比如上文说的AABCC，首先，有两个A，分解得AA + BCC，就是2 + BBC，然后，1个B就是10个A，于是就是AA + AAAAAAAAAA + AAAAAAAAAA + C，然后一个C等于10个B，就是AA + AAAAAAAAAA + AAAAAAAAAA + BBBBBBBBBB，这样一直拆下去，直到全部是A为止，你就得到实际的数值了，实际的数值就是A的个数，记住这一点，数值和进制是两码事。

然后，反过来，怎么把一个数值转化为特定进制呢？很简单，按照进制的定义，比如现在有数值AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA，然后，要转成10进制，那么我们每10个分一分组：AAAAAAAAAA + AAAAAAAAAA + AAA，然后，把10个A用B来表示，得到：B + B + AAA，如果B有10个，那再把它换成C表示。那么，如果你明白了以上方法，你就得到一个最基本的进制转换手段，就是先化为数值，再重新用另一个进制表示。比如10进制的13，要化成二进制，那么，就是BAAA -> AAAAAAAAAAA -> AA AA AA AA AA AA A 这时，换一个符号，每两个A用一个M表示，那么就是MM MM MM A，再每两个M用一个N表示，得到NN N A，再每两个N用一个P表示，得到P N A。而在这里，一个P等于8个A，一个N等于4个A，所以P + N + A你可以验算出8 + 4 + 1，等于原来的数值。而这种表示方法，就和罗马数字很相似，罗马数字里，用I表示1，用V表示5，用X表示10，于是18就用XVIII表达，用一个字母多次重复来表达一个数值。

后来，为了能更方便书写，因为字母数量是有限的，无法表达更大的数字，书写方式改用阿拉伯数字写在不同的位置来表达，于是就是我们今天的10进制数字。比如刚刚的例子，BAAA，有一个B，于是在十位写1，然后有三个B，在个位写3，也就是B的个数，组合起来就是13，这是十进制的情况。如果是二进制，刚刚我们得到的结果是PNA，注意这里没有M，相当于0个，而如果我们用二进制写，那就有四个位，个位有一个A，记1，第二位相当于M的个数，是0，组合起来是01，第三位是N，记1，组合是101，第四位有一个P，再组合就是1101，于是这就是10进制的13，化为二进制的结果。

3.进制的特点
问你，3638除以10的余数是多少？给你一秒种思考时间，多少？如果这个你不能马上说出来，那你就要反省了。结果应该是8，直接看个位不就对了。那么3638除以10的商呢？再给你一秒。。。。。。。。。。。。。。。。。。。这个答错的话要重读小学了，答案当然是363.8，如果把这个数取整，不要小数部分，那就是363。小学的时候你就应该知道，对一个数乘以10或者除以10这种计算是超简单的，因为我们用的是10进制。类似的，问一下你，经过60个5秒是多少分钟多少秒？再给你一秒思考时间，要毫不犹豫的回答我。你可别去计算60*5=300，这是多余的。答案是5分钟，时间我们用的60进制，那么乘以60只要改一下单位就足够了，肯定是对的。再问你，10分钟分成60份是多少秒？你必须立即回答我是10秒。
我们推广到任意k进制，按这个特点，k进制下，乘以k或者除以k的运算是超级简单的，比如8进制的123，乘以8肯定是1230，除以8就是12.3，相当于在移动小数点而已。于是，k进制下乘除k就是移动小数点。而除以k求余数的话，像刚刚的8进制的123除以8，就等于12余3，就是要得到个位上的数字，同时得到原来的数舍弃掉个位的结果。这个性质非常的重要！除法的本质是什么？其实除以k是得到被除数在k进制下的个位数（余数），和小数点左移的结果（商）。

4. C下实现数值转化为进制
好，现在回到程序，给你一个int n，要把它的各位上的数字取出来，按上面的性质，那就很简单了，先得到个位，n%10（这个’%'是求余运算），然后小数点左移，n = n / 10; 然后不断循环这个过程，如下代码：

int n = 2456;while (n > 0){    printf("%d,", n % 10);    n = n / 10;}

输出结果是”6,5,4,2,”，好好领悟一下这段代码。给你五分钟时间。每一次%10就是取出个位，每一次/10就是丢掉个位。
而如果把输出的结果里的数字，逆过来看，就是”2456″。

在这里，那个int所表示的，就是一个数值，刚刚我们的代码所做的事就是把这个数值，一位一位的分解出来。
而事实上，这个过程就是把数值转化为特定进制的过程。刚刚就是把数值转化为10进制。
如果把刚刚的代码改为：

int n = 13;while (n > 0){    printf("%d,", n % 2);    n = n / 2;}

没错，输出结果是”1,0,1,1″，就是刚刚把13化为二进制的例子，每一次%2就是取出二进制下的个位，每一次/2就是丢掉二进制下的个位。
只要把那个次序反过来，就得到1101，就是13化为二进制的结果。在你真正搞明白了除法的本质后，那么，数值转化为以k进制表示那是一件很简单的事。

5. 进制转化为数值
这部分我不打算讲，很多人对这个比起前面的内容来说容易理解很多，直接用进制的定义就已经很好办了，没什么太难理解的东西。

6. 作业
编写一个程序，输入三个整数n A B，表示把A进制的n，转换为B进制，并输出。
样例：
输入 输出
11 8 10 9
129 10 2 10000001
22 3 6 12

假定输入的A和B都在2-10这个范围，超出范围的不用去处理，输入的n保证在int范围内。