[APIO2010]特别行动队（斜率优化dp）

【题解】

设s[i]=x[1]+x[2]+……+x[i]
则：f[0]=0
    f[i]=max{ f[j]+zdl(s[i]-s[j]) } ( i>0 , 0<=j<i , zdl(x)=a*x*x+b*x+c )
    
若 j不比k差 
则：f[j]+a*(s[i]-s[j])^2+b*(s[i]-s[j])+c >= f[k]+a*(s[i]-s[k])^2+b*(s[i]-s[k])+c
整理得：     f[j]+a*s[j]^2-f[k]-a*s[k]^2 >= (2*a*s[i]+b)*(s[j]-s[k])            设t[i]=f[i]+a*s[i]^2, mi=2*a*s[i]+b
则：                            t[j]-t[k]>=m*(s[j]-s[k])                        s[i]单调递增 
∴ j<k时，K(j,k)<=mi (斜率小，前优)
   k<j时，K(j,k)>mi  (斜率大，后优)

若 j<k<l，且 K(j,k)<=K(k,l)
则总有：j优于k(K(j,k)<=mi) 或 l优于k(mi<K(j,k)<=K(k,l))，应删去k
因此队列中任意一段j-k-l均上凸 

若j,k为当前队列前两位，且 K(j,k)>=mi(k比j优)
∵ m单调递减 
∴ 对于任意t>i，都满足 K(j,k)>=mt (k总比j优)
此时可删去队首 

【代码】

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>typedef long long LL;LL s[1000005],f[1000005],y[1000005],q[1000005];double K(int i,int j){return (double)(y[i]-y[j])/(double)(s[i]-s[j]);}int main(){double m;LL a,b,c;int n,i,j,head=0,tail=1;scanf("%d%lld%lld%lld",&n,&a,&b,&c);for(i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&s[i]);s[i]+=s[i-1];}for(i=1;i<=n;i++){m=(double)(2*a*s[i]+b);while(tail-head>=2&&K(q[head],q[head+1])>m) head++;f[i]=f[q[head]]+a*(s[i]-s[q[head]])*(s[i]-s[q[head]])+b*(s[i]-s[q[head]])+c;y[i]=f[i]+a*s[i]*s[i];while( tail-head>=2 && K( q[tail-2] , q[tail-1] ) < K( q[tail-1] , i ) ) tail--;q[tail++]=i;}printf("%lld",f[n]);return 0;}