线性代数导论2——矩阵消元

线性代数导论2——矩阵消元

本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html

第二课时：矩阵消元

本课时的目标是用矩阵变换描述消元法。核心概念是矩阵变换。

一、消元法

消元法：将主对角线上的主元固定（0不能做主元），把主元下面的元素消为0。过程：先完成左侧矩阵的消元（变成上三角矩阵），再回代运算右侧向量，最后即可求出解完成整个消元过程。（matlab也是先计算左侧矩阵，再回头计算右侧向量的），

左侧矩阵的消元过程：U矩阵是A矩阵的最终消元结果

右侧向量回代过程：A中加入b列向量变成增广矩阵，增广就是增加的意思，增加了新列，左侧矩阵消元时，右侧向量也会跟着变化。c向量是b向量的最终结果

求解：将U和c代入原式子可得解

消元法失效的情况（指不能得到三个主元）：当主元上为0时，就通过交换行将主元位置变为非0，当通过交换行还不能解决0主元的时候，消元法就失效了。（不能解决0主元的矩阵是不可逆矩阵）

二、引入矩阵描述这些（消元步骤的）变化（消元矩阵），用矩阵语言描述整个消元过程。

回忆下我们应该怎样看待矩阵乘法：

矩阵乘以列向量是矩阵列的线性组合，结果为列向量；行向量乘以矩阵式矩阵行的线性组合，结果为行向量。

下面用消元矩阵来对矩阵进行消元，注意变换过程我们应该始终用线性组合的方式进行思考。同时注意到：单位矩阵是一个不会对任何矩阵有任何变换作用的矩阵。

第一步消元：我们要对中间的矩阵进行消元，得到右侧矩阵，第一步为row2=row2-3*row1。依次考虑左侧矩阵的行，第一行与中间矩阵的各个行向量进行线性组合，右侧矩阵的第一个行向量就是这个线性组合的结果，可观察容易得出左侧消元矩阵第一行为（1 0 0）。其实只需要由变换（row2=row2-3*row1）可得，消元矩阵中只有第二行有不同于单位矩阵的数值，即（-3 1 0）。

第二步消元：

以上每一步消元都使用到一个初等矩阵进行变换，我们将这些初等矩阵变换步骤综合起来（为什么综合起来？原因之一是更节省空间），即

有什么矩阵可以一次性完成E32和E21的消元任务呢？可以用结合律将E32和E21乘起来得到，但我们不这样做。

更好的方法：不是关于A怎么变换成U，而是U如何变成A，逆变换。下一课时将详细讲解。

逆矩阵，右侧消元矩阵表示的变换是row2减去3倍row1，将右侧向量从（2 12 2）变成（2 6 2）。现在需要将（2 6 2）通过找到某矩阵取消这次消元，减去多少就加回来多少，变回（2 12 2），即该矩阵乘以初等矩阵得到单位矩阵。

即：原矩阵是A，E1A=B，E2E1A=E2B，A=E2B（E2会将B变回A），IA=E2B，E2E1=I，E2与E1互为逆矩阵。

置换（permutation）矩阵：即交换行或交换列的变换矩阵

行交换：

列交换：