经典趣味题：称球问题

这是一道很老的题目了，但我直到最近才关注它，并对网上一些繁杂的解法表示头疼，通过对这些方法的总结，我得到了一种更一般化结论，这样，无论题是8球，12球，13球，甚至是39球，都可以套用该解法。希望我这个结论更易于理解。

 

这类问题的特点是：

坏球永远只有1个，但坏球是比好球轻，还是重，可能已知，也可能未知。

 

典型的问题：

有13个球，有一个坏球，其质量和其它球的质量不同，但不知道是比其它球轻了还是重了。给你一个天平，至多称3次，找到坏球？

 

暂不讨论上述问题，先看规模更小的问题，看看能不能抓到一些规律。

 

坏球轻重“已知”

只考虑“重”了的情况，轻了道理一样。

问题1：

3个球，有1 个坏球较重，请问需要称多少次找到坏球？

答：将3个球分3组（A, B, C）。称A，B组，若天平：

A=B，即天平持平，说明坏球是C。

A>B，即A比B重，说明坏球是A。

A<B，则坏球是B。

结论：只用称1次。

 

问题2：

扩展一下，如果允许称2次，那么最多能从多少球中挑出坏球（已知坏球较重）？

答：如果称一次能将坏球锁定到3个球之内，那么根据问题1的结论，问题就可解。于是，将N个球分3组（A, B, C），每组N/3个球，称A和B：

A=B，则坏球在C组。

A>B，则坏球在A组。

A<B，则坏球在B组。

只剩一次机会了，要使问题缩小到问题1，只要各组里的球数为3即可，即N=9。

结论：称2次，可从9球中挑出坏球。

 

至此，我们发现一个规律：多称一次，可解决的球数量将乘以3：

称3次，就能解决27球

...

结论：若坏球轻重”已知“，称N次，就能解决3^N球。

 

坏球轻重“未知”

信息量更少，解题过程要利用天平倾斜这一信息。

 

回到13球问题，第一步，同样分3组(A=4, B=4,C=5)：

第一称：

称A与B。则：

A=B, 坏球在C组，问题缩小为：称2次解决5个球，还提供8个已知的好球。将5球分两组（C1=2球, C2=3球），将C2与3个好球称一次，可知：

天平平，则坏球在C1中，轻重未知，称1次解决2个未知球，得解。

天平不平，则坏球在C2中，且根据天平倾斜情况可知坏是轻了重了，问题退化为已讨论过的问题1，得解。

 

若A不等于B，假设A>B （A<B同理）：坏球若在A中，则坏球重；若在B，则坏球轻。

现将A与B各分为2小组：

A(a1,a2), B(b1, b2)，a1球数与b1相同；a2球数与b2相同。

这里我们先不规定小组a1 / b1, a2 / b2 球数各是多少，而是根据比较结果来反推应该如何分配球数，这是将解题过程一般化的核心。

把a2拿下来，b2换到a2的位置，而b2由C组相同球数补充，设为c2：

此时，天平的样子为：

天平左边：A2 (a1,b2)

天平右边：B2 (b1,c2)

天平外边：a2

 

第二称：

A2与B2比较，有三个结果，再结合一开始A>B这一信息：

case 1. A2=B2，则a2重

case 2. A2>B2，则a1重或b1轻

case 3. A2<B2，则b2轻

上述结论即是一般化的分组比较结果。

 

第三称：

至此，还有一次机会，应该如何分配a1/b1与a2/b2小组的球数，才能保证上述3种情况都只需要一次称量？

case 2的情况最复杂，因为不知道坏球是在a1中还是b1中，但是发现，它只和小组1的球数有关。

对case 1, case 3，只和小组2有关。利用“坏球轻重已知”问题的结论，只允许称1次的话，a2 / b2至多允许有3个球。

于是分组如下：

a1 / b1分1球，a2 / b2分3球

 

现在来解case 2:

只要确定坏球是a1还是b1即可，可将a1与一个好球称一次，即得解。

 

总结

上述的核心在第二称上的分组上，对原组各分2小组，但先不决定每小组的球数，而是根据称量结果，发现只有3种case，而case 1,case 3是“坏球已知轻重问题”，且只与小组2有关，利用结论，根据还剩余称量次数N，对该组（组2）分配3^N个球；而剩下的球分配给组1，即case 2，再解决case 2。

这里的case 2只有2个球，可一称就解决，如果球比较多，可继续用3分法，不断缩小问题规模。

 

扩展 - 39球称4次

上述题目13球称3次得解，有人扩展了该问题，也是3的倍数关系，则39球可称4次得解，套用上述分组方法，读者可自行思考。

用上述方法：

第一称：均分成3组，若A=B，则问题化为C组13球称3次，已有解。

第二称：若A>B（A<B道理一样），与13球同理，分小组，替换后衡量A2与B2，则：

case 1. A2=B2，则a2重。

case 2. A2>B2，则a1重或b1轻

case 3. A2<B2，则b2轻

 

还有2次机会，根据结论，对case 1, case 3，我们知道可以贪心分配9个球；则a1 / b1各4个球。

解case 2:

将a1 (1,2,3,4), b1(5,6,7,8)一共8个球分三组A, B, C：(1,2,3)， (4,5)，  (6,7,8).

称A和C：

A=C：说明坏球在B，要么是球4且重，要么是球5且轻，再称一次可解。

A>C：

则坏球在A，问题退化为结论1：3个球且已知坏球轻重，称一次可解。

A<C：

同理，坏球在C，且轻，称一次可解。