算法导论笔记：17摊还分析

       在摊还分析中，通过求数据结构的一系列的操作的平均时间，来评价操作的代价。这样，即使这些操作中的某个单一操作的代价很高，也可以证明平均代价很低。摊还分析不涉及概率，它可以保证最坏情况下每个操作的平均性能。

 

       摊还分析有三种常用的技术：

       聚合分析，它确定n个操作的总代价的上界为T(n)，所以每个操作的平均代价为T(n)/n。每个操作都有相同的摊还代价。

       核算法：分析每个操作的摊还代价，不同于聚合分析，每种操作的摊还代价是不同的，核算法将序列中较早的操作的余额作为“信用”储存起来，与数据结构中的特定对象相关联，在随后的操作中，储存的信用可以用来进行支付。

       势能法，与核算法类似，也是分析每个操作的代价，但将势能作为一个整体存储，而与数据结构中的某个对象无关。

一：聚合分析

       聚合分析是证明n个操作的最坏情况下的总时间为T(n)，因而每个操作的平均代价（聚合代价）为T(n)/n。所以，聚合分析中的每个操作的聚合代价都是相同的。下面以栈操作和二进制计数器为例说明：

      

       1：栈操作

       栈操作有PUSH和POP，两个操作的都是O(1)时间的。现在增加一种新的操作MULITIPOP(S, k)，该操作删除栈顶的k个元素，如果k > S.size，则删除所有元素。该操作与实际执行的POP次数呈线性关系，代码如下：

MULTIPOP(S, k)

       while not STACK-EMPTY(S) and k>0

              POP(S)

              k = k-1

 

因此，MULTIPOP的代价为min(s, k)，其中s表示S.size。

 

       因为栈的大小最大为n，所以MULTIPOP的最坏情况为O(n)，所以，由n个PUSH,POP,MULTIPOP组成的操作序列的最坏代价为O( n^2)，因为序列可能包含O(n)个操作序列。

 

       上面的分析给出的界并不是紧确界，实际上，在一个空栈上执行n个PUSH, POP, MULTIPOP的操作序列，代价最多为O(n)。这是因为，当一个对象压入栈后，至多将其弹出一次。所以，对于一个非空的栈，可以执行的POP的次数（包含MULTIPOP中的POP）最多与PUSH操作次数一样，即n次。所以，对任意的n，任意一个由n个PUSH, POP, MULTIPOP组成的操作序列，最多花费O(n)。所以，每个操作的摊还代价为O(1)。

 

2：二进制计数器递增

       用一个数组A[0..k-1]表示一个k位二进制数x，x的最低位存储在A[0]中，最高位在A[k-1]中，初始情况下x=0。递增代码如下：

INCREMENT(A)

       i=0

       while i < A.length and A[i] == 1

              A[i] = 0

              i = i+1

       if i< A.length

              A[i]= 1

 

       每次INCREMENT操作的代价，与翻转的二进制位的数目呈线性关系。下图显示了将一个二进制数递增16次的情况，初始值为0，最终变为16：

 

       最坏情况下，INCREMENT执行一次需要花费Θ(k)时间，因此，初始值为0的计数器执行n个INCREMENT操作的最坏情况花费为O(nk)时间。

 

       所以，对于一个初始值为0的计数器，执行n个INCREMENT操作序列最坏情况下时间为O(n)，所以，每个操作的摊还代价为O(1)。

 

二：核算法

       核算法，对不同的操作赋予不同的费用，这个费用就是摊还代价。当一个操作的摊还代价超过实际代价的时候，将差额存入数据结构中的特定对象，存入的差额称为信用。对于后续操作中，摊还代价小于实际代价的情况，信用可以用来支付差额。

       因为希望通过分析摊还代价来说明每个操作的平均代价的很小，所以应该确保n个操作序列的摊还代价是实际代价的上界。如果 表示第i个操作的真实代价，而 表示摊还代价，则对于任意的n，有：   。因为信用就是摊还代价和实际代价的差值，即   ，所以需要保持数据结构中的总信用永远为非负值。

 

1：栈操作

       栈操作的实际代价如下：PUSH   1;    POP       1;    MULTIPOP    min(k,s)。为这些操作赋予的摊还代价为：      PUSH   2;    POP       0； MULTIPOP    0。

 

       下面证明，如果按照摊还代价进行缴费，则可以支付任意的n个栈操作序列。在PUSH操作时，共缴费2美元，其中1美元支付PUSH的实际代价，将剩余的1美元存入插入的元素，作为信用。这样，每个插入的元素都具有1美元的信用。这1美元的信用，实际上是用来支付POP操作的预付费。当执行一个POP的时候，并不缴额外的费用，而是使用信用来支付实际代价。MULTIPOP也一样。所以，对任意的n个PUSH, POP, MULTIPOP组成的序列，总摊还代价为实际代价的上界，总摊还代价为O(n)。

 

2：二进制计数器递增

       INCREMENT的操作时间与实际翻转的位数成正比，所以可以用翻转的位数作为操作的实际代价。

       在摊还分析中，对一次置位操作（0->1），缴费2美元，用1美元支付置位操作的实际代价，另存1美元在该位，作为信用，用来支付将来的复位操作(1->0)。所以，任何时刻，计数器中任何为1的位都存有1美元的信用。对于复位操作，无须缴纳任何费用。

       所以，每个INCREMENT操作最多置位一次，因此摊还代价为2美元。所以，n个INCREMENT操作，总摊还代价为O(n)。

 

三：势能法

       势能法与核算法类似，但是势能法并不将预付代价表示为数据结构中特定对象的信用，而是表示为“势能”。势能是与整个数据结构相关联，而不是某个特定的对象。将势能释放，就可以支付未来操作的代价。

 

       势能法如下：对一个初始数据结构 执行n个操作。对于i = 1, 2,...,n， 表示第i个操作的实际代价，表示在数据结构上执行第i个操作得到的数据结构。势函数 将每个数据结构 映射到一个实数，这个值就是关联到数据结构 的势。所以，第i个操作的摊还代价为。每个操作的摊还代价等于其实际代价加上此操作引起的势能变化。