软考：排序

    该文章是关于数据结构部分排序的总结，包括各种排序方法的时间和空间复杂度的分析，主要从直接插入、交换（冒泡、快速）、选择（直接选择、堆排序）和归并四类来分析。

直接插入：

    依次将每个记录插入到一个已排好序的有序表中，从而得到一个新的、记录数增加1的有序表。具体：插入第i个记录时，前i-1已经排好序，此时将第i个记录的关键字和第i-1，i-2比较，从而找到插入位置插入位置及其后记录依次向后移动。

    举例：9  6 15 8 11

         复杂度： 直接插入最好情况下每趟只需做一次比较且不用移动元素，因此n个元素总比较次数n-1，总移动0次；最坏情况下进行第j趟排序时与前面每个记录都有比较，双重循环，此时是关于n^2的式子；又排序过程中仅需一个元素的辅助空间，空间复杂度O（1），且是稳定排序。

交换：

        冒泡：首先将第一个记录键值和第二个记录键值比较，如果R[1].key>R[2].key，则交换，然后继续比较第二个和第三个，比较n-1次后完成最大记录在n的位置，此为第一趟起泡；然后进行第二次起泡完成最大记录在n-1位置，重复此过程直至没有进行记录交换的操作时结束。

    举例：9  6 15 8 11

       冒泡排序最理想情况，一组排序好的序列，只需比较n-1次，完成一次起泡即可，时间复杂度为O（n），最坏情况，一为n个元素逆序列，每趟比较次数为n-1，n-2…1，所以O（n^2）；排序过程仅需一个元素的辅助空间用于元素交换，空间复杂度O（1），且是稳定排序。     

       快速：通过一趟排序将待排序记录分为独立两部分，其中一部分记录关键字不小于另一部分关键字，然后再对两部分继续快速排序。做法：附设两指针i和j，初值分别指向第一个记录和最后一个记录，通常假设第一个记录值作为关键字key，首先从j所指位置向前搜索，找到第一个关键字小于key的记录并与之交换，然后从i所指位置向后搜索，找到第一个关键字大于key的记录并与之交换，重复这两步直至i与j相等。

   选取第一个记录9为关键字，完成第一趟排序后，再对9左右两部分快速排。

       时间复杂度：通过主定理:T [n] = aT[n/b] + f (n)，其中 a >= 1 and b> 1 是常量 并且 f(n) 是一个渐近正函数， 为了使用这个主定理，您需要考虑下列三种情况：

       快速排序的每一次划分把一个 问题分解成两个子问题，其中的关系可以用下式表示：T[n] = 2T[n/2] +O(n) 其中O(n)为PARTITION()的时间复杂度，对比主定理， T [n] =aT[n/b] + f (n)，我们的快速排序中：a = 2, b =2, f(n) = O(n)

选择：

    直接选择：在第i次选择操作中，通过n-i次键值比较，从n-i+1个记录中选择键值最小的记录，并和第i（I<=i<=n-1）个记录交换。

     举例：9  6 15 8 11

    复杂度分析：直接选择包含两层嵌套for循环，时间复杂度为O（n^2），且是不稳定的。

   堆排序：对一组待排序记录建立初始堆（建堆过程：将待排序关键字放到一课完全二叉树各个结点中，从n/2开始筛选，逐步把n/2-1，n/2-2…1为根的子树筛选成堆）排序过程中先和最后一个结点比较，每比较交换一次都有重新建堆，直至完成前两个结点的比较，基于最小堆的堆排序输出由大到小的序列。

    举例：9  6 15 8 11

         放在一棵二叉树中为：

    建堆：从n/2即第二个结点6开始筛选，然后筛选第一个结点，建好堆如下：

    堆排序过程：堆顶元素6和最后结点11比较，交换，重新构建堆：

    

    然后堆顶元素8和倒数第二个结点比较，交换之后重新构建堆，直至前两个结点比较交换后结束。

    时间复杂度：包括筛选和堆比较两部分。那么要执行多少次筛选呢？每一次筛选根结点都往下沉，所以筛选次数不会超过完全二叉树的深度：（[log2n]向下取整+1），其中n为结点个数,2为底数,即时间复杂度为O（log2n），堆比较是堆顶结点和最后一个结点开始比直至第二个结点，呈线性，所以为O（n），所以时间复杂度O（nlog2n）。

 归并（以二路归并来说）：反复讲两个有序文件归并呈一个有序文件的排序方法。

     举例：9  6 15 8 11

    时间复杂度O（nlog2n），且是稳定的。关于时间复杂度分析不是很理解，欢迎交流。

    参考：快速排序复杂度分析、归并排序复杂度分析 堆排序复杂度分析