线段树

HH神的线段树出神入化，所以跟着HH学习线段树。

风格：

maxn是题目给的最大区间，而节点数要开4倍，确切的说……

lson和rson辨别表示结点的左孩子和右孩子。

PushUp(int rt)是把当前结点的信息更新到父节点

PushDown（int rt)是把当前结点的信息更新给孩子结点。

rt表示当前子树的根（root），也就是当前所在的结点。

思想：

对于每个非叶节点所标示的结点 [a,b]，其做孩子表示的区间是[a,(a+b)/2]，其右孩子表示[(a+b)/2,b].

构造：

离散化和线段树：

题目：x轴上有若干个线段，求线段覆盖的总长度。

普通解法：设置坐标范围[min,max],初始化为0，然后每一段分别染色为1，最后统计1的个数，适用于线段数目少，区间范围小。

离散化的解法：离散化就是一一映射的关系，即将一个大坐标和小坐标进行一一映射，适用于线段数目少，区间范围大。

例如：[10000,22000],[30300,55000],[44000,60000],[55000,60000].

第一步：排序 10000 22000 30300 44000 55000 60000

第二部：编号 1        2        3         4       5         6

第三部：用编号来代替原数，即小数代大数 。

[10000,22000]~[1,2]

[30300,55000]~[3,5]

[44000,60000]~[4,6]

[55000,60000]~[5,6]

然后再用小数进行普通解法的步骤，最后代换回去。

线段树的解法：线段树通过建立线段，将原来染色O(n)的复杂度减小到 log（n），适用于线段数目多，区间范围小的情况。

离散化的线段树：适用于线段数目多，区间范围大的情况。

构造：

动态数据结构：

struct node{

 node* left;

 node* right;

……

}

静态全局数组模拟（完全二叉树）：

struct node{

  int left;

  int right;

……

}Tree[MAXN]

例如:

线段树与点树：

线段树的每一个结点表示一个点，成为点树，比如说用于求第k小数的线段树。

点树结构体：

struct node{

int l, r;

int c;//用于存放次结点的值，默认为0

}T[3*MAXN];

创建：

创建顺序为先序遍历，即先构造根节点，再构造左孩子，再构造右孩子。

[cpp] view plaincopy

1. void construct(int l, int r, int k){  
2.     T[k].l = l;  
3.     T[k].r = r;  
4.     T[k].c = 0;  
5.     if(l == r) return ;  
6.     int m = (l + r) >> 1;  
7.     construct(l, m, k << 1);  
8.     construct(m + 1, r, (k << 1) + 1);  
9.     return ;  
10. }  

[cpp] view plaincopy

1. void construct(int l, int r, int k){  
2.     T[k].l = l;  
3.     T[k].r = r;  
4.     T[k].c = 0;  
5.     if(l == r) return ;  
6.     int m = (l + r) >> 1;  
7.     construct(l, m, k << 1);  
8.     construct(m + 1, r, (k << 1) + 1);  
9.     return ;  
10. }  

 

[A,B,C]：A表示左值，B表示右值，C表示在静态数组中的位置，由此可知，n个点的话大约共有2*n个结点，因此开3*n的结构体一定是够的。

更新值：

[cpp] view plaincopy

1. void insert(int d, int k){  
2.     //如果找到了就c值+1返回。   
3.     if(T[k].l == T[k].r && d == T[k].l){  
4.         T[k].c += 1;  
5.         return ;  
6.     }  
7.     int m = (T[k].l + T[k].r) >> 1;  
8.     if(d <= m) insert(d, k << 1);  
9.     else insert(d, (k << 1) + 1);  
10.     //更新每一个c，向上更新   
11.     T[k].c = T[k << 1].c + T[(k << 1) + 1].c;  
12. }  

[cpp] view plaincopy

1. void insert(int d, int k){  
2.     //如果找到了就c值+1返回。  
3.     if(T[k].l == T[k].r && d == T[k].l){  
4.         T[k].c += 1;  
5.         return ;  
6.     }  
7.     int m = (T[k].l + T[k].r) >> 1;  
8.     if(d <= m) insert(d, k << 1);  
9.     else insert(d, (k << 1) + 1);  
10.     //更新每一个c，向上更新  
11.     T[k].c = T[k << 1].c + T[(k << 1) + 1].c;  
12. }  

查找值：

[cpp] view plaincopy

1. //k表示树根，d表示要查找的值   
2. void search(int d, int k, int& ans)  
3. {  
4.     if(T[k].l == T[k].r){  
5.         ans = T[k].l;  
6.         ans = T[k].l;  
7.     }  
8.     int m = (T[k].l + T[k].r) >> 1;  
9.     //不懂   
10.     if(d > T[(k << 1)].c) search(d - T[k << 1].c, (k << 1) + 1, ans);  
11.     else search(d, k << 1, ans);  
12. }  

[cpp] view plaincopy

1. //k表示树根，d表示要查找的值  
2. void search(int d, int k, int& ans)  
3. {  
4.     if(T[k].l == T[k].r){  
5.         ans = T[k].l;  
6.         ans = T[k].l;  
7.     }  
8.     int m = (T[k].l + T[k].r) >> 1;  
9.     //不懂  
10.     if(d > T[(k << 1)].c) search(d - T[k << 1].c, (k << 1) + 1, ans);  
11.     else search(d, k << 1, ans);  
12. }  

search函数的用法不太懂。

例题解：

（待更新）

四类题型：

1.单点更新   只更新叶子结点，然后把信息用PushUp(int r)这个函数更新上来。

hdu1166：敌兵布阵

线段树功能：update：单点替换 query：区间最值

poj2828

树状数组：

[cpp] view plaincopy

1. #include <iostream>   
2. #include <cstdio>   
3. #include <string>   
4. #include <cstring>   
5. using namespace std;  
6.   
7. typedef pair<int, int> PII;  
8.   
9. const int maxn = 200000;  
10.   
11. int C[maxn + 100];  
12. int B[maxn + 100];  
13. int n;  
14. PII arr[maxn + 100];  
15.   
16. int lowbit(int k) { return k & (-k); }  
17.   
18. void init() {  
19.     for(int i = 1; i <= n; i++) C[i] = lowbit(i);  
20.     memset(B, -1, n + 10);  
21. }  
22.   
23. void update(int i) {  
24.     while(i <= n) {  
25.         C[i]--;  
26.         i += lowbit(i);  
27.     }  
28. }  
29.   
30.   
31. int query(int i) {  
32.     int ret = 0;  
33.     while(i > 0) {  
34.         ret += C[i];  
35.         i -= lowbit(i);  
36.     }  
37.     return ret;  
38. }  
39.   
40. void debug() {  
41.     for(int i = 1; i <= n; i++) cout << i << " " << query(i) << endl;  
42. }  
43.   
44.   
45. void fun(int a, int v) {  
46.     int l = 1, r = n;  
47.     while(l < r) {  
48.         int m = (l + r) >> 1;  
49.         if(query(m) >= a) r = m;  
50.         else l = m + 1;  
51.     }  
52.     //cout << "here  " << l << endl;   
53.     update(l);  
54.     //cout << "here2 " << endl;   
55.     //debug();   
56.     B[l] = v;  
57.     //return l;   
58. }  
59.   
60.   
61.   
62.   
63. int main() {  
64.     while(~scanf("%d", &n)) {  
65.         init();  
66.         int a, b;  
67.         for(int i = 1; i <= n; i++) {  
68.             scanf("%d%d", &a, &b);  
69.             a++;  
70.             arr[i].first = a;  
71.             arr[i].second = b;  
72.         }  
73.         for(int i = n; i > 0; i--) fun(arr[i].first, arr[i].second);  
74.         //debug2();   
75.         //bool flag = false;   
76.         for(int i = 1; i <= n; i++) {  
77.             i == 1 ? printf("%d", B[i]) : printf(" %d", B[i]);  
78.             //if(B[i] != -1 && !flag) { printf("%d", B[i]); flag = true; }  
79.             //else if(B[i] != -1) printf(" %d", B[i]);  
80.         }  
81.         puts("");  
82.     }  
83.     return 0;  
84. }  

[cpp] view plaincopy

1. #include <iostream>  
2. #include <cstdio>  
3. #include <string>  
4. #include <cstring>  
5. using namespace std;  
6.   
7. typedef pair<int, int> PII;  
8.   
9. const int maxn = 200000;  
10.   
11. int C[maxn + 100];  
12. int B[maxn + 100];  
13. int n;  
14. PII arr[maxn + 100];  
15.   
16. int lowbit(int k) { return k & (-k); }  
17.   
18. void init() {  
19.     for(int i = 1; i <= n; i++) C[i] = lowbit(i);  
20.     memset(B, -1, n + 10);  
21. }  
22.   
23. void update(int i) {  
24.     while(i <= n) {  
25.         C[i]--;  
26.         i += lowbit(i);  
27.     }  
28. }  
29.   
30.   
31. int query(int i) {  
32.     int ret = 0;  
33.     while(i > 0) {  
34.         ret += C[i];  
35.         i -= lowbit(i);  
36.     }  
37.     return ret;  
38. }  
39.   
40. void debug() {  
41.     for(int i = 1; i <= n; i++) cout << i << " " << query(i) << endl;  
42. }  
43.   
44.   
45. void fun(int a, int v) {  
46.     int l = 1, r = n;  
47.     while(l < r) {  
48.         int m = (l + r) >> 1;  
49.         if(query(m) >= a) r = m;  
50.         else l = m + 1;  
51.     }  
52.     //cout << "here  " << l << endl;  
53.     update(l);  
54.     //cout << "here2 " << endl;  
55.     //debug();  
56.     B[l] = v;  
57.     //return l;  
58. }  
59.   
60.   
61.   
62.   
63. int main() {  
64.     while(~scanf("%d", &n)) {  
65.         init();  
66.         int a, b;  
67.         for(int i = 1; i <= n; i++) {  
68.             scanf("%d%d", &a, &b);  
69.             a++;  
70.             arr[i].first = a;  
71.             arr[i].second = b;  
72.         }  
73.         for(int i = n; i > 0; i--) fun(arr[i].first, arr[i].second);  
74.         //debug2();  
75.         //bool flag = false;  
76.         for(int i = 1; i <= n; i++) {  
77.             i == 1 ? printf("%d", B[i]) : printf(" %d", B[i]);  
78.             //if(B[i] != -1 && !flag) { printf("%d", B[i]); flag = true; }  
79.             //else if(B[i] != -1) printf(" %d", B[i]);  
80.         }  
81.         puts("");  
82.     }  
83.     return 0;  
84. }  

poj-3468

[cpp] view plaincopy

1. #include <cstdio>   
2. #include <cstring>   
3. #include <iostream>   
4. using namespace std;  
5.   
6. #define lson l, m, rt<<1   
7. #define rson m+1, r, rt<<1|1  
8.   
9. typedef long long LL;  
10.   
11. const int maxn = 111111;  
12.   
13. LL col[maxn<<2];  
14. LL sum[maxn<<2];  
15.   
16. void PushUp(LL rt) {  
17.     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
18. }  
19.   
20. //pushdown的作用是如果此点可以更新。   
21. //也就是更新到下一层   
22. //如果是底层，那么是不用pushdown的。   
23. void PushDown(LL rt, LL m) {  
24.     if(col[rt]) {  
25.         //col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];  
26.         col[rt<<1] += col[rt];  
27.         col[rt<<1|1] += col[rt];  
28.         sum[rt<<1] += col[rt] * (m - (m>>1));  
29.         sum[rt<<1|1] += col[rt] * (m>>1);  
30.         col[rt] = 0;  
31.     }  
32. }  
33.   
34. void build(LL l, LL r, LL rt) {  
35.     col[rt] = 0;  
36.     //cout << l << " " << r << endl;   
37.     if(l == r) {  
38.         scanf("%I64d", &sum[rt]);  
39.         //cout << rt << " " << sum[rt] << endl;  
40.         return ;  
41.     }  
42.     int m = (l + r) >> 1;  
43.     build(lson);  
44.     build(rson);  
45.     PushUp(rt);  
46. }  
47.   
48. LL query(LL L, LL R, LL l, LL r, LL rt) {  
49.     LL ret = 0;  
50.     if(L <= l && r <= R) {  
51.         //if(col[rt]) return sum[rt] + (r - l + 1) * col[rt];  
52.         return sum[rt];  
53.     }  
54.     PushDown(rt, r - l + 1);  
55.     int m = (l + r) >> 1;  
56.     if(L <= m) ret += query(L, R, lson);  
57.     if(R > m) ret += query(L, R, rson);  
58.     return ret;  
59. }  
60.   
61. void update(LL L, LL R, LL c, LL l, LL r, LL rt) {  
62.     if(L <= l && r <= R) {  
63.         sum[rt] += c * (r - l + 1);  
64.         col[rt] += c;//子节点没有更新   
65.         return ;  
66.     }  
67.     PushDown(rt, r - l + 1);  
68.     int m = (l + r) >> 1;  
69.     if(L <= m) update(L, R, c, lson);  
70.     if(R > m) update(L, R, c, rson);  
71.     PushUp(rt);  
72. }  
73.   
74. void debug(int n) {  
75.     for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {  
76.         cout << i << " ";  
77.     }  
78.     cout << endl;  
79.     for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {  
80.         cout << col[i] << " ";  
81.     }  
82.     cout << endl << endl;  
83.     for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {  
84.         cout << i << " ";  
85.     }  
86.     cout << endl;  
87.     for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {  
88.         cout << sum[i] << " ";  
89.     }  
90.     cout << endl;  
91. }  
92.   
93. int main() {  
94.     LL N, Q;  
95.     while(~scanf("%I64d%I64d", &N, &Q)) {  
96.         //cout << "N = " << N << endl;   
97.         memset(sum, 0, sizeof(sum));  
98.         memset(col, 0, sizeof(col));  
99.         build(1, N, 1);  
100.         //debug(N);   
101.         for(int i = 0; i < Q; i++) {  
102.             char ch[3];  
103.             LL a, b, c;  
104.             scanf("%s", ch);  
105.             if(ch[0] == 'Q') {  
106.                 scanf("%I64d%I64d", &a, &b);  
107.                 printf("%I64d\n", query(a, b, 1, N, 1));  
108.             }  
109.             else {  
110.                 scanf("%I64d%I64d%I64d", &a, &b, &c);  
111.                 update(a, b, c, 1, N, 1);  
112.             }  
113.             //debug(N);   
114.         }  
115.     }  
116.     return 0;  
117. }  

[cpp] view plaincopy

1. #include <cstdio>  
2. #include <cstring>  
3. #include <iostream>  
4. using namespace std;  
5.   
6. #define lson l, m, rt<<1  
7. #define rson m+1, r, rt<<1|1  
8.   
9. typedef long long LL;  
10.   
11. const int maxn = 111111;  
12.   
13. LL col[maxn<<2];  
14. LL sum[maxn<<2];  
15.   
16. void PushUp(LL rt) {  
17.     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
18. }  
19.   
20. //pushdown的作用是如果此点可以更新。  
21. //也就是更新到下一层  
22. //如果是底层，那么是不用pushdown的。  
23. void PushDown(LL rt, LL m) {  
24.     if(col[rt]) {  
25.         //col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];  
26.         col[rt<<1] += col[rt];  
27.         col[rt<<1|1] += col[rt];  
28.         sum[rt<<1] += col[rt] * (m - (m>>1));  
29.         sum[rt<<1|1] += col[rt] * (m>>1);  
30.         col[rt] = 0;  
31.     }  
32. }  
33.   
34. void build(LL l, LL r, LL rt) {  
35.     col[rt] = 0;  
36.     //cout << l << " " << r << endl;  
37.     if(l == r) {  
38.         scanf("%I64d", &sum[rt]);  
39.         //cout << rt << " " << sum[rt] << endl;  
40.         return ;  
41.     }  
42.     int m = (l + r) >> 1;  
43.     build(lson);  
44.     build(rson);  
45.     PushUp(rt);  
46. }  
47.   
48. LL query(LL L, LL R, LL l, LL r, LL rt) {  
49.     LL ret = 0;  
50.     if(L <= l && r <= R) {  
51.         //if(col[rt]) return sum[rt] + (r - l + 1) * col[rt];  
52.         return sum[rt];  
53.     }  
54.     PushDown(rt, r - l + 1);  
55.     int m = (l + r) >> 1;  
56.     if(L <= m) ret += query(L, R, lson);  
57.     if(R > m) ret += query(L, R, rson);  
58.     return ret;  
59. }  
60.   
61. void update(LL L, LL R, LL c, LL l, LL r, LL rt) {  
62.     if(L <= l && r <= R) {  
63.         sum[rt] += c * (r - l + 1);  
64.         col[rt] += c;//子节点没有更新  
65.         return ;  
66.     }  
67.     PushDown(rt, r - l + 1);  
68.     int m = (l + r) >> 1;  
69.     if(L <= m) update(L, R, c, lson);  
70.     if(R > m) update(L, R, c, rson);  
71.     PushUp(rt);  
72. }  
73.   
74. void debug(int n) {  
75.     for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {  
76.         cout << i << " ";  
77.     }  
78.     cout << endl;  
79.     for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {  
80.         cout << col[i] << " ";  
81.     }  
82.     cout << endl << endl;  
83.     for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {  
84.         cout << i << " ";  
85.     }  
86.     cout << endl;  
87.     for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {  
88.         cout << sum[i] << " ";  
89.     }  
90.     cout << endl;  
91. }  
92.   
93. int main() {  
94.     LL N, Q;  
95.     while(~scanf("%I64d%I64d", &N, &Q)) {  
96.         //cout << "N = " << N << endl;  
97.         memset(sum, 0, sizeof(sum));  
98.         memset(col, 0, sizeof(col));  
99.         build(1, N, 1);  
100.         //debug(N);  
101.         for(int i = 0; i < Q; i++) {  
102.             char ch[3];  
103.             LL a, b, c;  
104.             scanf("%s", ch);  
105.             if(ch[0] == 'Q') {  
106.                 scanf("%I64d%I64d", &a, &b);  
107.                 printf("%I64d\n", query(a, b, 1, N, 1));  
108.             }  
109.             else {  
110.                 scanf("%I64d%I64d%I64d", &a, &b, &c);  
111.                 update(a, b, c, 1, N, 1);  
112.             }  
113.             //debug(N);  
114.         }  
115.     }  
116.     return 0;  
117. }