《剑指Offer》学习笔记--面试题34：丑数

题目：我们把只包含因子2,3和5的数称作丑数。求按从小到大的顺序的定义1500个丑数。例如6,8都是丑数，但14不是，因为它包含因子7.习惯上我们把1当做第一个丑数。

逐个判断每个整数是不是丑数的解法，直观但不够高效

所谓一个数m是另一个数n的因子，是指n能被m整除，也就是说n%m == 0.根据丑数的定义，丑数只能被2,3和5整除，也就是说一个数能被2整除，我们把它连续除以2；如果能被3整除，就连续除以3；如果能被5整除，就连续除以5.如果最后我们得到的是1，那么这个数就是丑数，否则不是。

因此我们可以写出下面的函数来判断一个数是不是丑数：

bool IsUgly(int number){while(number % 2 == 0)number /= 2;while(number % 3 == 0)number /= 3;while(number % 5 == 0)number /= 5;return (number == 1) ? true : false; }

接下来，我们只需要按照顺序判断每一个整数是不是丑数，即：

int GetUglyNumber(int index){if(index <= 0)return 0;int number = 0;int uglyFound = 0;while(uglyFound < index){++number;if(IsUgly(number))++uglyFound;}return number;}

我们只要在函数GetUglyNumber中传入参数1500，就能得到第1500个丑数。该算法非常直观，代码也很简洁，但最大的问题每个整数都需要计算。即使一个数字不是丑数，我们还是需要对它做求余数和除法操作。因此该算法的时间效率不是很高，面试官也不会就此满足，他会提示我们还有更高校的算法。

创建数组保存已经找到的丑数，用空间换时间的解法

前面的算法之所以效率低，很大程度是是因为不管一个数是不是丑数我们都要做计算，接下来我们试着找到一种只要计算丑数的方法，而不在非丑数的整数上花时间。根据丑数的定义，丑数应该是另一个丑数乘以2,3或者5的结果（1除外）。因此我们可以创建一个数组，里面的数字是排序好的丑数，每一个丑数都是前面的丑数乘以2,3或者5得到的。

这种思路的关键是在于怎样确保数组里面的丑数是排好序的。假设数组中已经有若干个丑数排好序后放在数组中，并且把已有最大的丑数记做M，我们接下来分析如何生成下一个丑数。该丑数肯定是前面某一个丑数乘以2,3或者5的结果，所以我们首先考虑把已有的每个丑数乘以2.在乘以2的时候，能得到若干个小于或者等于M的结果。由于按照顺序生成的，小于或者等于M肯定已经在数组中了，我们不需要再次考虑；还会得到若干个大于M的结果，但我们只需要第一个大于的结果，因为我们希望丑数是按照从小到大的顺序生成的，其他更大的结果以后再说。我们把得到的第一个乘以2以后大于M的结果即为M2。同样，我们把已有的每一个丑数乘以3和5，能得到第一个大于M的结果M3和M5。那么下一个丑数应该是M2,M3和M5这3个数的最小者，前面分析的时候提到把已有的每个丑数分别都乘以2,3和5.事实上这不是必须的，因为已有的丑数是按顺序存放在数组中的。对乘以2而言，肯定存在某一个丑数T2，排在它之前的每一个丑数乘以2得到的结果都会小于已有最大的丑数，在它之后的每一个丑数乘以2得到的结果都会太大。我们只需几下这个丑数的位置，同时每次生成新的丑数的时候，去更新这个T2。对乘以3和5而言，也存在着同样的T3和T5。

有了这些分析，我们就可以写出如下代码：

int GetUglyNumber_Solution2(int index){if(index <= 0)return 0;int *pUglyNumbers = new int[index];pUglyNumbers[0] = 1;int nextUglyIndex = 1;int *pMultiply2 = pUglyNumbers;int *pMultiply3 = pUglyNumbers;int *pMultiply5 = pUglyNumbers;while(nextUglyIndex < index){int min = Min(*pMultiply2 * 2, *pMultiply3 * 3, *pMutiply * 5);pUglyNumbers[nextUglyIndex] = min;while(*pMultiply2 * 2 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex])++pMutiply2;while(*pMultiply3 * 3 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex])++pMutiply3;while(*pMultiply5 * 5 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex])++pMutiply5;++nextUglyIndex;}int ugly = pUglyNumbers[nextUglyIndex - 1];delete [] pUglyNumbers;return ugly;}int min(int number1, int number2, int number3){int min = (number1 < number2) ? number1 : number2;min = (min < numbers) ? min : number3;return min;}

和第一种思路相比，第二种思路不需要在非丑数的整数上做任何计算，因此时间效率有明显的提升。但也需要指出，第二种算法由于需要保存已经生成的丑数，因此需要一个数组，从而增加了空间消耗。如果是求第1500个丑数，将创建一个能容纳1500个丑数的数组，这个数组占内存6KB.而第一种思路没有这样的内存开销。总的来说，第二种思路相当于用较小的空间消耗换取了时间效率的提升。