《剑指Offer》学习笔记--面试题40：数组中只出现一次的数字

题目：一个整型数组里除了两个数字之外，其他的数字都出现了两次。请写程序找出这两个只出现一次的数字。要求时间复杂度是O(n),空间复杂度是O(1).

例如输入数组{2,4,3,6,3,2,5,5}，因为只有4,6这两个数字只出现一次，其他数字都出现两次，所以输出4和6.

这是一个比较难得题目，很少有人能在面试的时候不需要提示一下子想到最好的解决办法。一般当应聘者想了几分钟后还没有思路，面试官会给出一点提示。面试官可能会说：你可以先考虑这个数组中只有一个数字出现一次，其他的都出现了两次，怎么找出这个数字？

这两个题目都在强调一个（或两个）数字只出现一次，其他的出现两次。这有什么意义呢？我们想到异或运算的一个性质：任何一个数字异或它自己都等于0.也就是说，如果我们从头到尾一次异或数组中的每一个数字，那么最终的结果刚好是那个只出现一次的数字，因为那些成对出现的两次的数字全部在异或中抵消了。

想明白怎么解决这个简单问题之后，我们再回到原始的问题，看看能不能用相同的思路。我们试着把原始数组分成两个子数组，使得每个子数组包含一个只出现一次的数字，而其他数字都成对出现两次。如果能够这样拆分两个数组，我们就可以按照前面的办法分别找出两个只出现一次的数字了。

我们还是从头到尾一次异或数组中的每一个数字，那么最终得到的结果就是两个只出现一次的数字的异或结果。因为其他数字都出现了两次，在异或中全部抵消了。由于这两个数字肯定不一样，那么异或的结果肯定不为0，也就是说这个结果数字的二进制表示中至少有一位为1.我们在结果数字中找到第一个为1的位的位置，即为第n位。现在我们以第n位是不是1为标准把原数组中的数字分为两个子数组，第一个子数组中每个数字的第n位都是1，而第二个子数组中每个数字的第n为都是0.由于我们分组的标准是数字中的某一位是1还是0，那么出现了两次的数字肯定被分到了同一子数组。因为两个相同的数字的任意一位都是相同的，我们不可能把相同的数字分配到两个子数组中去，于是我们已经把原数组分成了两个子数组，每个子数组都包含一个只出现一次的数字，而其他数字都出现了两次。我们已经知道如何在数组中找出唯一一个只出现一次数字，因此到此为止所有的问题都已经解决了。

举个例子，假设输入数组{2,4,3,6,3,2,5,5}.当我们依次对数组中的每一个数字做异或运算之后，得到的结果用二进制表示是0010.异或得到结果中的倒数第二位是1，于是我们根据数字的倒数第二位是不是1分为两个数组。第一个子数组{2,3,6,3,2}中所有数字的倒数第二位都是1，而第二个子数组{4,5,5}中所有数字的倒数第二位都是0.接下来只要分别对这两个子数组求异或，就能找出第一个子数组中只出现一次的数字是6，而第二个子数组中只出现一次的数字是4.

代码如下：

void FindNumAppearOnce(int data[], int length, int* num1, int* num2){if(data == NULL || length < 2)return;int resultExclusiveOR = 0;for(int i = 0; i < length; ++ i)resultExclusiveOR ^= data[i];unsigned int indexOf1 = FindFirstBitIs1();*num1 = *num2 = 0;for(int j = 0; j < length; ++ j){if(IsBit1(data[j], indexOf1))*num ^= data[j];else*num2 ^= data[j];}}unsigned int FindFirstBitIs1(int num){int indexBit = 0;while(((num & 1) == 0) && (indexBit < 8*sizeof(int))){num = num>>1;++ indexBit;}return indexBit;}bool IsBit1(int num, unsigned int indexBit){num = num >> indexBit;return (num & 1);}

在上述代码中，FindFirstBitIs1用来在整数num的二进制表示中找到最右边是1的位，IsBit1的作用是判断在num的二进制表示中从右边数起的indexBit位是不是1。