[图论]继续研究昨天的问题：最短路HDU2544 Floyd算法

求解所有两点间最短路的问题叫做任意两点之间的最短路问题，这次试着使用DP来求解任意两点之间的最短路问题。只使用顶点0-k和i,j的情况下，记录i到j的最短路长度为d[k+1][i][j]。k=-1时，认为只使用i和j。所以d[0][i][j]=cost[i][j]。接下来让我们把只使用定点0-k的问题归约到只使用0~k-1的问题上。

只使用0-k时，我们分i到j的最短路正好经过顶点k一次和完全不经过顶点k两种情况来讨论。不经过顶点k的情况下，d[k][i][j]=d[k-1][i][j]，通过顶点k的情况下，d[k][i][j]=d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j]。合起来，就得到了d[k][i][j] = min(d[k-1][i][j]，d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j])。这个DP也可以使用同一个数组，不断使用d[i][j]=Min( d[i][j],d[i][k]+d[k][j] )的更新来实现。

这个算法叫做floyd-Warshall算法，可以可以在O|V^3|时间里求得所有两点间的最短路长度。Floyd-Warshall算法可以处理边是负数的情况。而判断图中是否有负圈，只需检查是否存在d[i][i]是负数的顶点i就可以了。

Floyd的算法：

void warshall_floyd( ){  int i,j,k;  for( k=1;k<=n;++k )    for( i=1;i<=n;++i )      for( j=1;j<=n;++j )        d[i][j]=Min( d[i][j],d[i][k]+d[k][j] );}

接下来还是上次的老问题，这次用Floyd作

最短路 HDU2544

Time Limit: 5000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) 
Total Submission(s): 28761    Accepted Submission(s): 12444 

Problem Description

在每年的校赛里，所有进入决赛的同学都会获得一件很漂亮的t-shirt。但是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时候，却是非常累的！所以现在他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线，你可以帮助他们吗？ 

Input

输入包括多组数据。每组数据第一行是两个整数N、M（N<=100，M<=10000），N表示成都的大街上有几个路口，标号为1的路口是商店所在地，标号为N的路口是赛场所在地，M则表示在成都有几条路。N=M=0表示输入结束。接下来M行，每行包括3个整数A，B，C（1<=A,B<=N,1<=C<=1000）,表示在路口A与路口B之间有一条路，我们的工作人员需要C分钟的时间走过这条路。 
输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。 

Output

对于每组输入，输出一行，表示工作人员从商店走到赛场的最短时间

Sample Input

2 1 1 2 3 3 3 1 2 5 2 3 5 3 1 2 0 0

Sample Output

3 2

#include <stdio.h>#define MAX 0x3f3f3f3f#define RANGE 105int d[RANGE][RANGE];int n;int Min( int a,int b ){  return a<b?a:b;}void warshall_floyd( ){  int i,j,k;  for( k=1;k<=n;++k )    for( i=1;i<=n;++i )      for( j=1;j<=n;++j )        d[i][j]=Min( d[i][j],d[i][k]+d[k][j] );}int main(){  int m,A,B,C,i,j;  while( scanf("%d%d",&n,&m) )  {    if( !n && !m )  break;    // 初始化    for( i=1;i<=n;++i )      for( j=1;j<=i;++j )      {        if( i==j ) d[i][j]=0;        else    d[i][j]=d[j][i]=MAX;      }    // 输入    for( i=0;i<m;++i )    {      scanf("%d%d%d",&A,&B,&C);      d[A][B]=d[B][A]=C;    }    // floyd算法求最短路    warshall_floyd();    printf("%d\n",d[1][n]);  }  return 0;}