素数因子

程序分析：对n进行分解质因数，应先找到一个最小的质数k，然后按下述步骤完成： 

(1)如果这个质数恰等于（小于的时候，继续执行循环）n，则说明分解质因数的过程已经结束，另外 打印出即可。

(2)但n能被k整除，则应打印出k的值，并用n除以k的商,作为新的正整数n.重复执行第二步。

(3)如果n不能被k整除，则用k+1作为k的值,重复执行第一步。

先给出代码，然后我在解释这个程序为什么能够执行成功。

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1. #include <stdio.h>  
2. int main() {  
3.     int num, i;  
4.     printf("please input a num:");  
5.     scanf("%d", &num);  
6.     printf("%d=", num);  
7.     for(i = 2; i <= num; i++) {  
8.         while(num % i == 0) {  
9.             num /= i;  
10.             if(num != 1) {  
11.                 printf("%d*", i);  
12.             } else {  
13.                 printf("%d", i);  
14.             }  
15.         }  
16.     }  
17.     printf("\n");  
18.     return 0;  
19. }  

如果输入的数据是偶数的话，循环从2开始，执行while循环后这个数肯定编程奇数。那么大家从小学学数学的时候都知道，质数除去2之外，都是奇数。自然数序列中奇数有两种，一种是质数（奇数），另一种肯定是质奇数的倍数。所当输入的偶数据编程奇数之后肯定能被分解，分解或是一个质奇数，或者是几个质奇数的乘积。如果输入数据时奇数的话，那很显然能被分解成质奇数的乘积。此程序是当num=1的时候结束。
可以很清楚的看到，上面的算法有很多不必要的判断，就是当i = 4，或者 i = 6的时候。所以下面给出一个更高效的算法。
1，首先判断n是否可以被2整除，如果可以，那么n/2之后再进行判断，直至n变成奇数。
2，接下来开始一个从i=3，到 i = sqrt(n)的循环，当i可以整除n的时候，进行整除运算，直至不能整除位置，然后i一次递增2。
3，当第2部结束之后得到的n，要对其进行判断，看它是1还是比2大的质数。

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1. #include<stdio.h>  
2. #include<math.h>  
3.   
4. void prime_factors(int n) {  
5.     int i;  
6.     while(n % 2 ==0) {  
7.         n = n / 2;  
8.         printf("%d ", 2);  
9.     }  
10.   
11.     for(i = 3; i <= sqrt(n); i += 2) {  
12.         while(n % i == 0) {  
13.             n = n / i;  
14.             printf("%d ", i);  
15.         }  
16.     }  
17.   
18.     if(n > 2) {  
19.         printf("%d" , n);  
20.     }  
21.     printf("\n");  
22. }  
23.   
24. void main() {  
25.     int n = 315;  
26.     prime_factors(315);  
27. }  

解释一下程序是如何工作的：第1,2步处理的是当n是组合数的情况（就是非质数），第3步是处理n是质数的情况。为了证明整个算法的正确性，需要证明1,2的确是处理了组合数的情况。可以清晰的看到1处理了所有偶数的情况，第一步之后得到的n肯定是个奇数，而且n的两个不同的质数因子之间的差值至少为2。因为n的值是随着程序不断变动的，所以假设n的最初值记录在k中。上面的算法第二步中的for循环没有执行到k的平方根的时候就结束了。这是一种很巧妙的优化。下面证明这个优化的正确性：对于每个组合数而言，最少有一个素数因子是小于或者等于它的平方根的，用反证法证明这一点。假设a，b是n的两个因子，a * b = n， 假如a，b都大于n的平方根，那么a*b的值就会大于n，与他们之积等于n相反。在第2步的循环中，主要做以下的工作：a，找到n的最小素数因子；b，在while循环中，通过不断的n/i，来去除n中包含的所有i因子；c，通过重复的执行a,b两步，使得最终的n要么是1，要么是比2大的素数。