数字信道化(digital channelizer)以及DFT(FFT)的深入理解

最近在给天文台做射电望远镜阵列数字波束合成(DBF)的系统方案设计，用到的通信算法无非正交变换(orthogonal transformation)，滤波(filtering)，DBF加权(weighted)，数字信道化(digital channelizer)，FFT等（目前两个主要方案）。这些算法虽然已经不止一次研究、甚至在FPGA中实现，上板调试外场调试过。但是这一段时间做方案还是对其有了更深入的理解。特别是对FFT(DFT)这里有了更深一些的感悟。

由头是在做信道化加窄带波束合成的宽带DBF方案时（这个是借鉴荷兰的LOFAR），对这个方案的性能做一些评估，这里主要误差引入在窄带波束合成的相位补偿失真和信道化的频域混叠。对于信道化的频域混叠，是一个很基本的问题，上次做的是检测类的应用，这个相关的文献介绍的比较多，比如注明James Tsui的《宽带数字接收机》里面有提到为了减少虚警，保证检测信号只可能落在相邻两个子信道内，对于信道化原型滤波器的设计采用通带频率范围和阻带频率范围相同的方式。举个例子，250MHz正交采样信号做256信道的数字信道化，对于原型滤波器的设计，通带250/256/2=0.4883MHz，阻带250/256=0.9766MHz。这里由于滤波器没法设计成理想的锐截止，因此频域混叠是一定会存在的，但是上述滤波器设计方式可以保证出现混叠的频率分量只在相邻两个子信道里，这样保证了检测信号只可能落在相邻两个子信道内，解决了虚警的问题。

在通信领域上信道化用的也比较多（通信领域改个名字叫OFDM），通信领域对混叠的解决方式略有不同。最开始的时候采用的是加入一些保护频带的方式来解决混叠的问题，在每两个相邻子信道之间设定一定带宽的保护频带，这时候滤波器设计过渡带落在保护频带内可以保证每个子信道通带不受频域混叠干扰，当然这种方式存在一个致命的问题就是频带利用率大打折扣，因为每个子信道相当于都浪费了一定带宽作为频带保护，虽然保护频带可能设计的很窄（比过渡带还窄，尽可能减少混叠就行了），但是可能浪费的带宽还是会有10%-20%（这个瞎猜的，通信没搞过），对于通信紧张的带宽分配（一般撑死也就50M吧）实在难以接受。因此后面又有了新的解决方式就是无混叠(alias-free filter design)信道化原型滤波器设计，这种设计的思想源于通信领域一般收发做在一起的，也就是先是receiver，然后是一定的处理系统，然后是transmiter，把这三部分响应放在一起看（由于中间系统响应已知），只要设计发射信道化原型滤波器和接收信道化原型滤波器满足一定关系就可以使得整体来看的系统无混叠。这在通信领域比较好的解决了混叠的问题。

对于我们这里射电天文的应用，由于前面数字接收机做阵内波束合成之后，后面还是要做FFT的，因此信道化这里引入的混叠误差其实影响并不大，后者说如果采用滤波器形式的宽带波束合成，后面在做FFT的时候同样会引入混叠。这里就是对FFT或者准确来说是DFT的更进一步的理解，以前对DFT的认识无非就是时域转化到频域，但本质上来看其实DFT可以看做调制后加权求和（通常使用的矩形窗），拿矩形窗为例，第一旁瓣就有-13dB。而信道化本身也可以看做一种频率分析或者说DFT，滤波器本身就是加权叠加，可以看做间隔一个节拍的一段一段的信号乘以一个窗（滤波器系数）然后在求和（或者说就是加权）。而对于信道化滤波器通常涉及性能远好于矩形窗（阻带可以到-80dB，而且通常做equiripple），因此信道化带来的混叠远比后面做FFT小的多（目前他们天文台做的是4096点FFT）。当然通常FFT之前肯定也会做加窗处理。

有点乱，这就是对信道化和DFT一些理解。