0-1背包问题的空间优化

http://www.2cto.com/kf/201301/184347.html

http://www.tuicool.com/articles/nIn2u2E

如果你不知道什么叫做0-1背包问题，下面是0-1背包问题的简单描述

假设有n件物品

每件物品的体积为w1, w2……wn

   相对应的价值为 v1, v2.……vn。

01背包是在n件物品取出若干件放在空间为total_weight的背包里，使得背包的总体积最大

关于0-1背包问题没有优化版本，请看这里

上面的核心代码是下面这一段

[cpp] 

for (int i = 1; i <= n; i++) {  

  for (int j = 1; j <= total_weight; j++) {  

    if (w[i] > j) {  

      c[i][j] = c[i-1][j];  

    } else {  

        if (c[i-1][j] > v[i]+c[i-1][j-w[i]]) {  

          c[i][j] = c[i-1][j];  

        }  

        else {  

          c[i][j] =  v[i] + c[i-1][j-w[i]];  

        }  

    }  

  }  

}  

 

 

 

注意到状态转移方程 c[i][j] = max{c[i-1][j], c[i-1][j-w[i]]+v[i]}

 

每一次c[i][j]改变的值只与c[i-1][x] {x:1...j}有关c[i-1][x]是前一次i循环保存下来的值，因此，可以将c缩减成一维数组

状态转移方程转换为 c[j] = max(c[j], c[j-w[i]]+v[i]);

并且，我们注意到状态转移方程，每一次推导c[i][j]是通过c[i-1][j-w[i]]来推导的，而不是通过c[i][j-w[i]]

因此，j的扫描顺序应该改成从大到小

否则，第i次求c数组，必然先求的c[j-w[i]]的值(即c[i][j-w[i]])，再求c[j](即c[i][j])的值

由于j递增,那么状态方程就成为下面这个样子了

c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-w[i]]+v[i])显然不符合题意

所以，上面的代码变为

 

 

 

[cpp]  

for (int i = 1; i <= n; i++) {  

   for (int j = total_weight; j >= 1; j--) {  

     if (w[i] > j) {  

       c[j] = c[j]; //表示第i次与第i-1次相等，这里因为c[j]本来就保存这上一次的值，所以这里不需变化  

     } else {  

       //说明第i件物品的重量小于背包的重量，所以可以选择第i件物品放还是不放  

         if (c[j] > v[i]+c[j-w[i]]) {  

           c[j] = c[j];  

         }  

         else {  

           c[j] =  v[i] + c[j-w[i]];  

         }  

     }  

   }  

 }  

 

 

 

最后我们可以做下优化，把不必要的语句去掉即可完成优化

 

 

[cpp] 

for (int i = 1; i <= n; i++) {  

  for (int j = total_weight; j >= w[i]; j--) {  

    if (c[j] <= v[i] + c[j-w[i]])  

      c[j] = v[i] + c[j-w[i]];  

  }  

}  

 

 

如此优美的代码简直无法想象!

注意，空间优化版本最后是求解不出来最优解序列的，但是能求出最优解，也就是最大价值