LeetCode | Happy Number

题目

Write an algorithm to determine if a number is "happy".

A happy number is a number defined by the following process: Starting with any positive integer, replace the number by the sum of the squares of its digits, and repeat the process until the number equals 1 (where it will stay), or it loops endlessly in a cycle which does not include 1. Those numbers for which this process ends in 1 are happy numbers.

Example: 19 is a happy number

• 12 + 92 = 82
• 82 + 22 = 68
• 62 + 82 = 100
• 12 + 02 + 02 = 1

分析与思路

得到每位数字的平方和比较简单，使用一个while语句就能实现，难点主要是对Happy Number性质的了解上。如果不是Happy Number，那么将会无限循环下去，此时该怎么办？

我的思路是这样的，首先非常容易就能判断出 在一位数字中 只有1和7是Happy Number，那么对一个数进行每位数字平方和的计算时，只要在循环中出现2 3 4 5 6 8 9中的一个，该数就不是Happy Number。按照这个思路生成的代码顺利通过了所有的测试，但是这里其实需要证明在每个不是Happy Number的循环中，一定会在某次出现1~9中的一个数。

代码为：

class Solution {public:    int sumOfTheSquaresOfItsDigits(int n)    {    int sum=0;    while(n)        {            sum+=(n%10)*(n%10);            n/=10;        }        return sum;    }    bool isHappy(int n)     {    if(n<=0)return false;    while(n>10)    n=sumOfTheSquaresOfItsDigits(n);    if(n==1 || n==7 || n==10)    return true;    else     return false;    }};

其实，上面的思路还有种变形，也即不需要到10，只要到7即可，2, 3 4 5 6都不是Happy Number，这样的思路写出的代码也顺利通过了所有测试样例。

代码：

bool isHappy(int n) {    while(n>6)    {        int next = 0;        while(n){next+=(n%10)*(n%10); n/=10;}        n = next;    }    return n==1;}

在Discuss区看到有人提出 所有不是Happy Number的数在cycle内都会出现4，所以把4作为了一个magic_number，他提供的代码为：

bool isHappy(int n) {    if (n <= 0) return false;    int magic = 4;    while (1) {        if (n == 1) return true;        if (n == magic) return false;        int t = 0;        while (n) {            t += (n % 10) * (n % 10);            n /= 10;        }        n = t;    }}

但是！！！！以上的做法都面临一个问题，那就是需要给出严格的数学证明证明出：在非Happy Number的每次计算自己数字平方和的过程中，一定会出现1~9、1~6、4。如果没有证明，其实还是不能严格说算法是正确的。在做题的时候我就没想到这点，但是所有测试用例都能通过。由于我数学是体育老师教的，我没办法给出严格的证明过程。所以我试着找一种其他方法解决这个问题。

int型整数最大值是2147483647，也即所有数各个位上的数字平方和最大也不会超过9*9*10=810（10位数字全是9时），实际上第9位（从0位起算）最高位连3都不可能。所以可以开一个810个元素的数组（已经远远足够），对于出现过的数字， 就将相应的数组下标那个元素标志为true，问题就转换成一个简单的hash应用问题。

代码：

class Solution {public:    int sumOfTheSquaresOfItsDigits(int n)    {    int sum=0;    while(n)        {            sum+=(n%10)*(n%10);            n/=10;        }        return sum;    }        bool isHappy(int n)    {        bool hash[810];        memset(hash,false,sizeof(hash));    int sum=n;        while(true)        {            sum = sumOfTheSquaresOfItsDigits(sum);            if(sum == 1)                return true;            else            {                if(hash[sum] == true)                    return false;                else                    hash[sum] = true;            }        }    }};