欧拉工程第42题：Coded triangle numbers

题目链接：https://projecteuler.net/problem=42
三角形数序列中第 n 项的定义是： tn = ½n(n+1)
26个字母对应其依次出现的顺序，如A：1，B：2
如果一个单词，各个字母对应数字之和在三角形数序列中，则这个单词是三角形单词。
求给的txt文件中有多少个单词
思路：
1.读取txt文件
2.判断是否是三角形单词
3.统计个数

如何判断是三角形单词？
1.求出单词对于的数是多少，这个比较简单
2.判断这个数是否在三角形数序列中

如何判断一个数是在三角形序列中？
1.暴力破解
对1到n的数分别求½n(n+1) 若等于所要判定的数，则是三角形数。
太暴力，时间长，本题让判断的数有2000左右的。
2.巧解
tn = ½n(n+1)，我们假设输入的数num是三角形数，则num= ½n(n+1)，根据这个我们可以求出n，再判断n对于的真实的三角形数tn是否等于num，等于则是三角形数。

n=1+8tn√−12 OK
或
n=−1+8tn√−12 显然不对，都小于0了

这个也可以，比方法一好多了

3.不直接求n
num= ½n(n+1)
2*num=n*n+n
看到这个式子，突然感觉当n趋向无穷大时候 2*num = n * n
2*num = n * n 是关键
所有 n=sqrt（2*num） 四舍五入

这里的问题要是n是很大的数才满足条件

手工试了下，发现n=1到10都满足。为什么?

我们可以考虑下面两个数的关系，左边的是我们认为的n，右边实际的n，假设小于
2∗num−−−−−−−√ < 1+8num√−12
化简后：
0<1-21+8num−−−−−−−−√
21+8num−−−−−−−−√<1
假设错误
2∗num−−−−−−−√ > 1+8num√−12

这个还不足以说明问题，注意到我们用到了四舍五入，下面证明
2∗num−−−−−−−√ < 1+8num√−12+12
2∗num−−−−−−−√ < 1+8num√2
两边平方后整理：1>0
即：
1+8num√−12 <2∗num−−−−−−−√ < 1+8num√−12+12
所有再加上四舍五入2∗num−−−−−−−√就是我们求的n

Java代码：

package projecteuler41to50;import java.io.BufferedReader;import java.io.File;import java.io.FileNotFoundException;import java.io.FileReader;import java.io.IOException;import java.util.Date;class level42{    void solve() throws IOException{        int result=0;        String filename="src\\projecteuler41to50\\p042_words.txt";        String[] WordString=ReadTxt(filename);        for(int i=0;i<WordString.length;i++){            String word=WordString[i];            int wordTonum=WordToNumber(word);            if(isTriang(wordTonum)==true){                result+=1;              }        }        System.out.println("result:"+result);    }    int WordToNumber(String Word){        int sum=0;        for(int i=0;i<Word.length();++i){            String letter=Word.substring(i, i+1);            sum+=LetterToNumber(letter);        }        return sum;    }    boolean isTriang(int tn){        int n=(int)Math.sqrt(2*tn);        if(n*(n+1)==2*tn)            return true;        return false;    }    int LetterToNumber(String letter){        letter=letter.toLowerCase();        return letter.hashCode()-"a".hashCode()+1;    }    String[] ReadTxt(String filename) throws IOException{        File fl=new File(filename);        BufferedReader reader=null;        String tempString=null;        String WordString="";        String[] WordArray;        try {            reader=new BufferedReader(new FileReader(fl));            while((tempString=reader.readLine())!=null){                WordString+=tempString;            }        } catch (FileNotFoundException e) {            // TODO Auto-generated catch block            e.printStackTrace();        }        WordString=WordString.replaceAll("\"", "");        WordArray=WordString.split(",");        return WordArray;    }}public class Problem42 {    public static void main(String[] args) throws IOException{        Date beginTime=new Date();        new level42().solve();        Date endTime=new Date();        Long Time=endTime.getTime()-beginTime.getTime();        System.out.println("Time:"+Time/1000+"s"+Time%1000+"ms");    }}