<Leetcode>Median of Two Sorted Arrays

题目描述：

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

解法：

常规解法是将nums1和nums2排序后，查找中位数，时间复杂度最低是O(m+n)。然而我们的目的是查找(m+n)/2的数，并不需要对两个序列进行排序。网友提供了非常的好的解法，原问题退化为求第K大的数字。

以下为转载：

http://blog.csdn.net/yutianzuijin/article/details/11499917/

首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。

证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。

当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。

当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)

通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：

• 如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；
• 如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；
• 如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；

double BinaryFindKth(int nums1[], int size1, int nums2[], int size2, int k){if (size1 < size2)//保证size2永远小于size1，为后面比较两序列大小和k/2的关系提供方便return BinaryFindKth(nums2, size2, nums1, size1, k);if (size2 == 0)return nums1[k - 1];//ensure p1+p2=kint p2 = (size2 < k / 2) ? size2 : k / 2;//考虑当size2<k/2的情况int p1 = k - p2;//caution!!!当k=1时，k/2=0，p2=0,p2-1会导致数组指针越界，因此应该对k=1单独处理if (k == 1){if (nums1[0] < nums2[0])return nums1[0];elsereturn nums2[0];}if (nums1[p1 - 1] < nums2[p2 - 1])//指针不能越界，必须保证p2>=1return BinaryFindKth(nums1 + p1, size1 - p1, nums2, size2, k - p1);else if (nums1[p1 - 1] > nums2[p2 - 1])return BinaryFindKth(nums1, size1, nums2 + p2, size2 - p2, k - p2);elsereturn nums1[p1 - 1];}double findMedianSortedArrays(int* nums1, int nums1Size, int* nums2, int nums2Size) {int all = nums1Size + nums2Size;if (all & 0x01)//奇数return BinaryFindKth(nums1, nums1Size, nums2, nums2Size, all / 2 + 1);elsereturn BinaryFindKth(nums1, nums1Size, nums2, nums2Size, all / 2 + 1) / 2 + BinaryFindKth(nums1, nums1Size, nums2, nums2Size, all / 2) / 2;}