错排递推公式

问题： 十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？

这个问题推广一下，就是错排问题，是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。

f(n)=(n-1)*(f(n-2)+f(n-1));

编号为 1 ， 2 ，……， n 的 n 个元素排成一列，若每个元素所处位置的序号都与它的编号不同，则称这个排列为 n 个不同元素的一个错排。记 n 个不同元素的错排总数为 f(n) ，则f(n) = n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!]（ 1 ）

本文从另一角度对这个问题进行一点讨论。

1. 一个简单的递推公式

n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成：

第一步，“错排” 1 号元素（将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一），有 n - 1 
种方法。

第二步，“错排”其余 n - 1 个元素，按如下顺序进行。视第一步的结果，若 1 
号元素落在第 k 个位置，第二步就先把 k 号元素“错排”好， k 
号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生：（ 1 ） k 号元素排在第 1 
个位置，留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”，有 f(n -2) 
种方法；（ 2 ） k 号元素不排第 1 个位置，这时可将第 1 个位置“看成”第 k 
个位置，于是形成（包括 k 号元素在内的） n - 1 个元素的“错排”，有 f(n - 1) 
种方法。据加法原理，完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。

根据乘法原理， n 个不同元素的错排种数

f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。 （ 2 ）

某人写了n封信和n个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有的信都装错信封,共有多少种不同情况。 

当N=1和2时，易得解～，假设F(N-1)和F(N-2)已经得到，重点分析下面的情况：

1.当有N封信的时候，前面N-1封信可以有N-1或者 N-2封错装。

2.前者，对于每一种错装，可以从N-1封信中任意取一封和第 N封错装，故=F(N-1) * (N-1)。

3.后者简单，只能是没装错的那封信和第N封信交换信封，没装错的那封信可以是前面N-1封信中的任意一个，故= F(N-2) * (N-1)。

基本形式：d[1]=0;   d[2]=1 递归式：d[n]= (n-1)*( d[n-1] + d[n-2])

这就是著名的错排公式。