HDU 1588 Gauss Fibonacci（矩阵 + 斐波那契）

题意：

已知g( i ) = k*i+b,f( i )是斐波那契数列

输入k，b，n，mod，当0 <= i < n时，求f(g(i))的和

 

解题思路：

直接一项一项求，那肯定得超时啊，凭直觉，肯定得用矩阵，可关键就是如何去构造

显然，g( i )是一个等差数列，那f( g(i) )也肯定是有某种规律的，我们可以大胆假设它是等差或等比，如果想跟矩阵结合，那么等差的可能性就不大，那就可能是等比

拿第一组数据凑一下，k=2，b=1，n=4，我们要求的就是f(1)+f(3)+f(5)+f(7), f(1)=1, f(3)=2, f(5)=5, f(7)=13, 发现

二分矩阵（1 1，1 0）符合条件，下面就来验证一下

令A = （1 1,1 0），g(i) = k*i+b

f(b) = A^b

f(k+b)=A^(k+b)=(A^b)*(A^k)

f(2k+b)=A^(2k+b)=(A^b)*((A^k)^2)

.

.

所以f是等比数列，首项是 A^b，公比是A^k，项数是n，但因A是矩阵，所以没法用求和公式

sum = (A^b)*(单位矩阵+A^k+(A^k)^2+(A^k)^3+……(A^k)^(n-1)

一开始我是直接求这个公式，结果就是一直超时

用二分求和就可以了

如:A+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6=(A+A^2+A^3)+A^3*(A+A^2+A^3)

写个递归就可以了

#include <iostream>using namespace std;#define LL long longLL m;struct mat{LL a[2][2];};mat tmp,I;mat mul(mat a,mat b){mat ret;for(int i=0;i<2;i++){for(int j=0;j<2;j++){ret.a[i][j] = (a.a[i][0]*b.a[0][j]+a.a[i][1]*b.a[1][j])%m;}}return ret;}mat mpower(mat a, LL x){mat I;I.a[0][0] = I.a[1][1] = 1;I.a[0][1] = I.a[1][0] = 0;while(x){if(x&1) I = mul(I,a);x>>=1;a = mul(a,a);}return I;}mat add(mat a, mat b){for(int i=0;i<2;i++){for(int j=0;j<2;j++){a.a[i][j] = (a.a[i][j]+b.a[i][j])%m;}}return a;}mat solve(mat a,LL x){if(x==1) return a;else if(x&1) return add(mpower(a,x),solve(a,x-1));else return mul(solve(a,x>>1),add(mpower(a,x>>1),I));}int main(){LL k,b,n;I.a[0][0] = I.a[1][1] = 1;I.a[0][1] = I.a[1][0] = 0;while(cin>>k>>b>>n>>m){tmp.a[0][0] = tmp.a[0][1] = tmp.a[1][0] = 1;tmp.a[1][1] = 0;mat A = mpower(tmp,b);mat B = mpower(tmp,k);tmp = add(I,solve(B,n-1));if(b!=0)tmp = mul(A , tmp);cout<<tmp.a[0][1]<<endl;}return 0;}