递归和循环

题目1：写一个函数，输入n，求斐波那契（Fibonacci）数列的第n项。斐波那契数列的定义如下：

       f(n)=0    n=0;

       f(n)=1    n=1;

       f(n)=f(n-1)+f(n-2)   n>1;

   很多C语言教科书在讲递归函数的时候，都会用斐波那契作为例子，代码如下：

  public static long Fibonacci(int n) {if (n <= 0)return 0;if (n == 1)return 1;return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);}

 发现当n=100时，代码的运行速度很慢，可以用递归树来分析，发现这棵树上面的结点有很多是重复的，在面试的时候，面试官不愿看到这样的代码。其实改进的方法并不难，可以不用递归来避免重复计算，这个是面试官期待的实用解法：

public static long Fibonacci1(int n) {if (n <= 0)return 0;if (n == 1)return 1;long first = 0L;long Two = 1L;long fidn = 0L;for (int i = 2; i <= n; i++) {fidn = first + Two;Two = first;first = fidn;}return fidn;}

题目2：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶，求该青蛙跳上一个n级台阶总共有多少种跳法。

分析：我们把n级台阶看成是n的函数即f(n)。当n>2时，第一次跳有两种不同的选择：一是第一次只跳1级，此时跳法数目等于后面剩下的n-1级台阶的跳法数目，即f(n-1)；二是第一次跳2个台阶，此时跳法数目等于后面剩下的n-2级台阶的跳法数目，即f(n-2)。因此n级台阶的不同跳法数目为f(n)=f(n-1)+f(n-2)。实际上就是斐波那契数列。

本题扩展：

   在青蛙跳台阶的问题中，如果把条件改成：一只青蛙一次可跳1级台阶，也可以跳2级台阶.....也可以跳n级台阶，此时青蛙跳n级台阶的有多少种跳法？用数学归纳法我们知道是2的n-1次方。