[LeetCode] Maximum Subarray

Maximum Subarray

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4],
the contiguous subarray [4,−1,2,1] has the largest sum = 6.

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解题思路：

题意为找出连续的和最大的子数组的和。可以有两种方法来做，动态规划以及分治法。

1、动态规划。求最值问题一般可以考虑动态规划的方法。d[i]表示子数组nums[k, i]的最大值，其中k>=0并且k<i。其递推公式为：

d[i] = nums[i], i==0 或者 d[i-1]<0d[i] = nums[i] + d[i-1], 其他

然后返回d[]数组的最大值即可。这种方法的空间复杂度为O(n)，其实可以优化成O(1)的空间复杂度。时间复杂度为O(n)

class Solution {public:    int maxSubArray(vector<int>& nums) {        int len = nums.size();        if(len<1){            return 0;        }        int d[len];        d[0]=nums[0];        int maxSum=nums[0];                for(int i=1; i<len; i++){            if(d[i-1]>0){                d[i]=nums[i]+d[i-1];            }else{                d[i]=nums[i];            }            maxSum = max(d[i], maxSum);         }                return maxSum;    }};

2、分治法。这种方法非常巧妙。对于一个数组nums[left, right]来说，nums[mid]是其中间元素。最大值子数组的分布无非三种情况：

（1）最大值子数组在mid前面

（2）最大值子数组在mid后边

（3）最大值子数组跨过mid

对于（1）（2），可以直接用递归来求得，对于（3），我们以mid向两边延伸找到最大的和。然后返回三种情况最大的一项即可。

空间复杂度为O(1)，时间复杂度为O(n)

class Solution {public:    int maxSubArray(vector<int>& nums) {        return maxSub(nums, 0, nums.size() - 1);    }        int maxSub(vector<int>& nums, int left, int right){        if(left>right){            return INT_MIN;        }        int mid = (left + right) / 2;        int lMax = maxSub(nums, left, mid - 1);        int rMax = maxSub(nums, mid + 1, right);        int sum = 0;        int lMaxSub = 0;        for(int i=mid - 1; i>=left; i--){            sum += nums[i];            lMaxSub = max(sum, lMaxSub);        }        int rMaxSub = 0;        sum = 0;        for(int i=mid + 1; i<=right; i++){            sum += nums[i];            rMaxSub = max(sum, rMaxSub);        }        return max(max(lMax, rMax), lMaxSub + rMaxSub + nums[mid]);    }};