半群与群

半群与独异点

半群与独异点的定义

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定义11.1 (1)设V=<S,>是代数系统,为二元运算,如果运算是可结合的,则称V为半群。
　　        (2)设V=<S,>是半群,若e∈S是关于运算的单位元,则称V是含幺半群,也叫做独异点。有时也将独异点V记作V=<S,,e>.

例11.1 (1)<Z⁺,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群,+是普通加法。这些半群中除<Z⁺,+>外都是独异点。
　　     (2)设n是大于1的正整数,<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半群,也都是独异点,其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法。
　　     (3)<P(B),>为半群,也是独异点,其中为集合的对乘差运算。
　　     (4)<Zn,>为半群,也是独异点,其中Zn={0,1,…,n-1},为模n加法。
　　     (5)<A^A,>为半群,也是独异点,其中为函数的复合运算。
　　     (6)<R^*,>为半群,其中R^*为非零实数集合,运算定义如下：x,y∈R^*,xy=y

半群与独异点的性质

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半群中的幂

由于半群V=<S,>中的运算是可结合的,可以定义元素的幂,对任意x∈S,规定：
　　　　　　　　　　x¹=x
　　　　　　　　　　xⁿ⁺¹=xⁿx,　　　　n∈Z⁺

用数学归纳法不难证明x的幂遵从以下运算规则：
　　　　　　　　　　xⁿx^m=x^n+m
　　　　　　　　　　(xⁿ)^m= x^nm 　　　　m,n∈Z⁺
    普通乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等都遵从这个幂运算规则。

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独异点中的幂

独异点是特殊的半群,可以把半群的幂运算推广到独异点中去。由于独异点V中含有单位元e,对于任意的x∈S,可以定义x的零次幂,即

　　　　　　　　　　x⁰=e
　　　　　　　　　　xⁿ⁺¹=xⁿx 　　　　n∈N
不难证明,独异点的幂运算也遵从半群的幂运算规则,只不过m和n不一定限于正整数,只要是自然数就成立。

子半群与子独异点

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半群的子代数叫做子半群,独异点的子代数叫做子独异点。根据子代数的定义不难看出,如果V=<S,>是半群,TS,只要T对V中的运算封闭,那么<T,>就是V的子半群。而对独异点V=<S,,e>来说,TS,不仅T要对V中的运算封闭,而且e∈T,这时<T,,e>才构成V的子独异点。

例11.2 设半群V1=<S,·>,独异点V2=<S,·,e>.其中·为矩阵乘法,e为2阶单位矩阵,

               　
令
　　　　　　　　　

则TS,且T对矩阵乘法·是封闭的,所以<T,·>是V1=<S,·>的子半群。易见在<T,·>中存在着自己的单位元 ,所以<T,·,>也构成一个独异点。但它不是V2=<S,·,e>的子独异点,因为V2中的单位元e=T.

半群与独异点的直积

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定义11.2 设V₁=<S₁,>,V₂=<S₂,*>是半群(或独异点),令S=S₁×S₂,定义S上的·运算如下：<a,b>,<c,d>∈S,          <a,b>·<c,d>=<ac,b*d>称<S,·>为V₁和V₂的直积,记作V₁×V₂。
　　不难证明V₁×V₂是半群。
　　若V₁和V₂是独异点,其单位元分别为e₁和e₂,则<e₁,e₂>是V₁×V₂中的单位元,因此V₁×V₂也是独异点。

五．半群与独异点的同态映射

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定义11.3 (1)设V₁=<S₁,>,V₂=<S₂,*>是半群,: S₁→S₂.若对任意的x,y∈S₁有
　　　　　　　　　(xy)=(x)*(y)
则称为半群V₁到V₂的同态映射,简称同态。
　　(2)设V₁=<S₁,,e₁>,V2=<S₂,*,e₂>是独异点,: S₁→S₂.若对任意的x,y∈S₁有
　　　　　　　　　(xy)=(x)*(y) 且(e₁)= e₂,
则称为独异点V₁到V₂的同态映射,简称同态。
    为了书写的简便,有时经常省略上述表达式中的算符和*,而简记为
　　　　　　　　　(xy)=(x)(y)
但应该记住,该表达式中左边的xy是在V₁中的运算,而右边的 (x)(y)是在V₂中的运算。

　　对于例11.2的半群和独异点,令 : S → S,
　　　　　　　　 ,

则是半群V₁的自同态,但不是独异点V₂的自同态,因为它没有将V₂的单位元映到V₂的单位元。

主要内容

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1. 集合S和运算构成半群的条件（封闭性、结合律）；集合S和运算构成独异点的条件（封闭性、结合律、单位元）。 2. 半群与独异点的两条幂运算规则：xⁿ x^m=x^n+m ，(xⁿ)^m= x^nm  3. 半群S的非空子集A构成子半群的条件（A对于S中运算封闭）；独异点S的非空子集A构成子独异点的条件（A对于S中运算封闭，单位元属于A）  4. 通过笛卡尔积构造直积  5. 同态映射的判别：(xy)=(x)(y) （对于独异点要加上(e)=e） 学习要求

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1. 判断给定集合和运算是否构成半群和独异点。  2. 了解半群及独异点中的幂运算规则。  3. 判断半群或独异点的子集是否构成子半群或子独异点。  4. 了解半群及独异点的直积概念。  5. 了解半群或独异点的同态映射的概念。 

习题课

1. 判断下列集合和运算是否构成半群和独异点

（1）a是正整数，G={aⁿ|n∈Z}, 运算是普通乘法。

构成半群   不能构成半群构成独异点 不能构成独异点

群的定义与性质

一、群的定义、实例与术语

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1．群的定义与实例

定义11.4 设<G,>是代数系统,为二元运算。如果运算是可结合的,存在单位元e∈G,并且对G中的任何元素x都有x^-1∈G,则称G为群。

　　考虑例11.1，(1)中的<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群,而<Z⁺,+>和<N,+>不是群。(2)中的  <M_n(R),+>是群,而<M_n(R),·>不是群。因为并非所有的n阶实矩阵都有逆阵。(3)中的<P(B),>是群,因为对任何B的子集A,A的逆元就是A自身。(4)中的<Z_n,>也是群.0是Z_n中的单位元。x∈Z_n,若x=0,x的逆元就是0；若x≠0,则n-x是x的逆元。当|A|≥2时(5)和(6)中的代数系统不是群。

例11.3 设G={a,b,c,d},·为G上的二元运算,它由表11.1给出,不难证明G是一个群。由表中可以看出G的运算具有以下的特点：e为G中的单位元；运算是可交换的；G中任何元素的逆元就是它自己；在a,b,c三个元素中,任何两个元素运算的结果都等于另一个元素。称这个群为Klein四元群,简称四元群。

　　　　　　　　　　　　　表11.1

群的术语

定义11.5
　　(1)若群G是有穷集,则称G是有限群,否则称为无限群。群G的基数称为群G的阶,有限群G的阶记作|G|.
　　(2)只含单位元的群称为平凡群。
　　(3)若群G中的二元运算是可交换的,则称G为交换群或阿贝尔(Abel)群。
　　<Z,+>,<R,+>是无限群,<Z_n,>是有限群,也是n阶群。Klein四元群是4阶群。<{0},+>是平凡群。上述所有的群都是交换群,但n阶(n≥2)实可逆矩阵的集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群,因为矩阵乘法不满足交换律。

 定义11.6 设G是群,a∈G,n∈Z,则a的n次幂。
　　　　　　 　

　　与半群和独异点不同的是：群中元素可以定义负整数次幂。例如在<Z₃,>中有
　　　　　　2^-3=(2^-1)³=1³=111=0,
而在<Z,+>中有
           3^-5=(3^-1)⁵=(-3)⁵=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-15.

 定义11.7 设G是群,a∈G,使得等式 a^k=e成立的最小正整数k称为a的阶,记作|a|=k,这时也称a为k阶元。若不存在这样的正整数k,则称a为无限阶元。
　　例如<Z₆,>中,2和4是3阶元,3是2阶元,而1和5是6阶元,0是1阶元。而在<Z,+>中,0是1阶元,其它的整数都是无限阶元。在Klein四元群中e为1阶元,其它元素都是2阶元。

群的性质

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群的幂运算规则

定理11.1 设G为群,则G中的幂运算满足：
　　(1) a∈G,(a^-1)^-1=a.
　　(2) a,b∈G,(ab)^-1=b^-1a^-1.
　　(3) a∈G,aⁿa^m=a^n+m,n,m∈Z.
　　(4) a∈G,(aⁿ)^m=a^nm,n,m∈Z.
　　(5)若G为交换群,则(ab)ⁿ=aⁿbⁿ.

　 证　(1)(a^-1)^-1是a^-1的逆元,a也是a^-1的逆元。根据逆元的唯一性,等式得证。
　　(2)(b^-1a^-1)(ab) = b^-1(a^-1a)b = b^-1b = e, 同理 (ab)(b^-1a^-1) = e,故b^-1a^-1是ab的逆元。根据逆元的唯一性等式得证。
　　关于（3）,（4）,（5）中的等式,先利用数学归纳法对于自然数n和m证出相应的结果,然后讨论n或m为负数的情况。证明留作思考题。
　　定理11.1(2)中的结果可以推广到有限多个元素的情况,即
　　　　　
　　注意上述定理中的最后一个等式只对交换群成立。如果G是非交换群,那么只有
　　　　　

群方程存在唯一解

定理11.2 　G为群,a,b∈G,方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有唯一解。
　 证 先证a^-1b是方程ax=b的解。将a^-1b代入方程左边的x得
　　　　　　a(a^-1b)=(aa^-1)b=eb=b
所以a^-1b是该方程的解。下面证明唯一性。
　　假设c是方程ax=b的解,必有ac=b,从而有
　　　　　　c=ec=(a^-1a)c=a^-1(ac)= a^-1b
　　同理可证ba^-1是方程ya=b的唯一解。

例11.4 设群G=<P({a,b}),>,其中为集合的对称差运算。解下列群方程：
　　　　　　　　{a}X=,Y{a,b}={b}
　 解 X={a}^-1={a}={a}
　　 　 Y={b}{a,b}^-1={b}{a,b}={a}

消去律

定理11.3 　G为群,则G中适合消去律,即对任意a,b,c∈G 有
　　(1)若ab=ac,则b=c.
　　(2)若ba=ca,则b=c.
　　证明留作练习。
例11.5 设G为群,a,b∈G,且 (ab)²=a²b² 证明 ab=ba.
　 证 由(ab)²=a²b²得
　　　　abab=aabb
根据群中的消去律得ba=ab,即ab=ba.

例11.6 设G={a₁,a₂,…,a_n}是n阶群,令 a_iG={a_ia_j|j=1,2,…,n} 证明 a_iG=G。
　 证 由群中运算的封闭性有 a_iGG。假设a_iGG,即|a_iG|<n。必有a_j,a_k∈G使得
　　　　　　a_ia_j=a_ia_k （j≠k）
由消去律得 a_j=a_k,与|G|=n矛盾。

群中元素的阶的性质

定理11.4 　G为群,a∈G且|a|=r。设k是整数,则
　　(1) a^k=e当且仅当r|k
　　(2) |a|=|a^-1|

　 证 (1)充分性。由于r|k,必存在整数m使得k=mr,所以有
　　　　　　a^k=a^mr=(a^r)^m=e^m=e。
　　必要性。根据除法,存在整数m和i使得
　　　　　　k=mr+i,0≤i≤r-1
从而有
　　　　　　e=a^k=a^mr+i=(a^r)^maⁱ=eaⁱ=aⁱ
因为|a|=r,必有i=0。这就证明了r|k。

　　(2) 由(a^-1)^r=(a^r)^-1=e^-1=e
可知a^-1的阶存在。令|a^-1|=t,根据上面的证明有t|r。这说明a的逆元的阶是a的阶的因子。而a又是a^-1的逆元,所以a的阶也是a^-1的阶的因子,故有r|t。从而证明了r=t,即|a|=|a^-1|。

例11.7 设G是群,a,b∈G是有限阶元。证明
　　(1)|b^-1ab|=|a|
　　(2)|ab|=|ba|

　 证 (1)设|a|=r,|b^-1ab|=t,则有

                 　　　 　　

根据定理11.4得t|r.
　　另一方面,由 a=b(b^-1ab)b^-1=(b^-1)^-1(b^-1ab)b^-1  可知, (b^-1)^-1(b^-1ab)b^-1的阶是b^-1ab的阶的因子,即r|t。从而有|b^-1ab|=|a|。

　　(2) 设|ab|=r,|ba|=t,则有

　　　

由消去律得(ab)^t=e,从而可知,r|t.
    同理可证t|r。因此|ab|=|ba|。

例11.8 设G为有限群,则G中阶大于2的元素有偶数个。
　 证 根据定理11.4可知,对于任意a∈G有
　　　　　a²=e|a|=1或|a|=2　　　　　 　　
　　若a²=e,则有 a^-1a²=a^-1e，即 a=a^-1.

    反之,若a=a^-1,则有 a²=aa=aa^-1=e，这就推出a²=ea=a^-1.
　　综合上述可知,对G中阶大于2的元素a,必有a≠a^-1。又由于|a|=|a^-1|,所以G中阶大于2的元素一定成对出现。G中若含有阶大于2的元素,一定是偶数个。若G中不含阶大于2的元素,而0也是偶数。

例11.9 设G为群,a,b∈G,且ab=ba。如果|a|=n,|b|=m,且n与m互质,证明|ab|=nm.
　 证 设|ab|=d.由ab=ba可知
  　　　　　(ab)^nm=(aⁿ)^m(b^m)ⁿ=e^meⁿ=e　　　　　 　　
从而有d|nm.
　　又由a^db^d=(ab)^d=e可知 a^d=b^-d ，即|a^d|=|b^-d|=|b^d|.再根据

　　　　　　　(a^d)ⁿ=(aⁿ)^d=e^d=e
得|a^d||n。

    同理有|b^d||m。从而知道|a^d|是n和m的公因子。因为n与m互质,所以|a^d|=1。这就证明了a^d=e，从而 n|d.同理可证m|d,即d是n和m的公倍数。由于n与m互质,必有nm|d.

    综合前边的结果得d=nm.即|ab|=nm.

主要内容

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1. 集合G和二元运算构成群的条件（封闭性、结合律、单位元、每个元素有逆元）。  2. 特殊群的定义（有限与无限群、Abel群、平凡群）与群的阶。  3. 元素的幂与元素的阶 4.  群的性质：幂运算规则、消去律、群方程的唯一解、有关元素的阶的性质。 

学习要求

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1. 能判断给定集合和运算是否构成群。  2. 了解有限群、无限群、平凡群、交换群、Abel群。  3. 会求有限群的阶、元素的幂、元素的阶。  4. 能求群方程的解。  5.* 能使用消去律及群的其它性质证明有关群的简单命题。 

习题课

1. 设Z为整数集，x,y∈Z,x·y=x+y-2，说明Z关于·运算是否构成群。

能够构成群 不能构成群

2. 设Z₁₈为模18整数加群, 求所有元素的阶。

3. 设G为群，a∈G是有限阶元,对于任意x∈G，证明|xax^-1|=|a|。

4. 设G为群，x∈G有x²=e, 证明G是交换群。

5. 证明偶数阶群必含2阶元。

关于群中简单证明题的总结

    为了学会群中的简单证明方法，我们首先应该思考下面的问题：
   （1）群中常见的简单证明题有哪些类型？
   （2）常用的证明手段或工具是什么？
    首先回答第一个问题。群的简单证明题主要是：
    · 证明群中的等式（元素相等或集合相等）
    · 证明与元素的阶相关的命题
    · 证明群的其它简单命题，如交换性等。
    再回到第二个问题。证明中经常使用的工具就是群的基本性质，具体说来就是
     · 算律：结合律、消去律
     · 和特殊元素相关的等式，如单位元、逆元等。
     · 幂运算规则
     · 和元素的阶相关的性质。特别地，a为2阶元的充分必要条件是a^-1=a。
    前三个工具主要用于化简群中的等式。求解证明题的基本方法就是使用这些工具完成上面的三类证明题。下面分别加以说明。
    证明元素相等的基本方法就是用结合律、消去律、单位元及逆元的唯一性、群的幂运算规则等对等式进行变形和化简。见例11.5。
    证明子集相等就是证明集合相等的基本方法，即证明两个子集相互包含。 见例11.6。
    证明与元素的阶相关的命题，如证明阶相等，阶整除等。证明两个元素的阶r和s相等或证明某个元素的阶等于r，基本方法是用定理11.4的结果证明相互整除。在证明中可以使用结合律、消去律、幂运算规则以及关于元素的阶的性质。特别地，a为2阶元的充分必要条件是a^-1=a。见例11.7，11.8，11.9。
    证明群的其它简单命题没有一定的方法，要求会灵活使用到前面所述的一种和几种工具。如前面习题课中的题4和题5。

子群

一、子群的定义

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定义11.8 设G是群,H是G的非空子集,如果H关于G中的运算构成群,则称H是G的子群,记作H≤G。若H是G的子群,且HG,则称H是G的真子群,记作H<G.
　　例如 nZ（n是自然数）是整数加群〈Z,+〉的子群。当n≠1时,nZ是Z的真子群。
对任何群G都存在子群。G和{e}都是G的子群,称为G的平凡子群。