CodeForces 547C. Mike and Foam 莫比乌斯反演

题意：给定一个长度为n的数列a,和q个操作（1<= n,q <= 2*10^5, 1 <= a[i] <= 5*10^5 ）

需要维护一个多重集合Q.

每个操作给出一个下标i,如果a[i]属于Q那么把a[i]从Q中拿走，如果a[i]不属于Q，那么把a[i]加入Q中。

每次操作后询问Q中，有多少对i,j满足条件 i<j 且 gcd(a[i],a[j])=1

这个性质的维护比较困难，直接做是O(n*q)

答案是利用莫比乌斯反演定理来做：

d[k]表示集合Q中，有多少个元素是k的倍数

本题中d <= 5*10^5,因为当d>5*10^5时，所有的F(d)都一定为0

现在直接来看最后K的公式，增减元素之后，只要调整所有影响的F值，就可以得到新的K值。

然后关于莫比乌斯函数u(x),当x含有任何质数因子的平方或更高次方的时候u(d)=0，所以这时的F的变化不用考虑。

2*3*5*7*11*13*17=510510>5*10^5,所以本题中，任何的a[i]最多含有6个不同的质因子。

那么a[i]的因子d 中，使u(d) != 0 的最多只有2^6 =64个

于是如果要加入或删除某个a[i] ，只需找到a[i]影响的最多64个d[i],根据d[i]来调整K值就行了。

总复杂度O(q  *  64)

在代码中，没有记录F[i],只记录了d[i]，然后根据d[i]的变化来调整K.

代码如下：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cmath>#include <cstring>#define maxn 200007#define maxv 500007 using namespace std;int maxprime[maxv];/* maxprime[i]是i的质因数中最大的一个 */int u[maxv];/* 莫比乌斯函数 */bool On[maxn];/* 记录a[i]是否在集合内 */int d[maxv];/* 记录d[k]表示集合内有多少个值是k的倍数 */int a[maxn];int n,q;long long K;void Init(){/* 初始化maxprime和u数组 */memset(maxprime,-1,sizeof(maxprime));for(int i=1;i<maxv;++i) u[i]=1;for(int i=2;i<maxv;++i){if(~maxprime[i]) continue;for(int j=1,v=i;v<maxv;++j,v+=i){maxprime[v]=i;u[v]=j%i==0?0:-u[v];}}}bool Add(int x){/* 加入x */ int fac[6],facn=0;while(x>1){/* 质因数分解 */int p=maxprime[x];fac[facn++]=p;do x/=p;while(x%p==0);}int MAX=1<<facn;for(int i=0;i<MAX;++i){/* 调整所有的d值以及K值 */int t=i,v=1;for(int j=0;j<facn;++j,t>>=1){if(t&1) v*=fac[j]; }K+=d[v]*u[v];++d[v];}return true;}bool Remove(int x){/* 删除x */ int fac[6],facn=0;while(x>1){/* 质因数分解 */int p=maxprime[x];fac[facn++]=p;do x/=p;while(x%p==0);}int MAX=1<<facn;for(int i=0;i<MAX;++i){/* 调整所有的d值以及K值 */int t=i,v=1;for(int j=0;j<facn;++j,t>>=1){if(t&1) v*=fac[j]; }--d[v];K-=d[v]*u[v];}return true;}int main(void){Init();freopen("547C.txt","r",stdin); while(~scanf("%d%d",&n,&q)){memset(On,0,sizeof(On));//On数组，表示a[i]是否在集合中 memset(d,0,sizeof(d));//d[k]表示集合中有多少个是k的倍数 K=0;for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);for(int i=0;i<q;++i){int x;scanf("%d",&x);On[x]=On[x]?Remove(a[x]),false:Add(a[x]),true;printf("%I64d\n",K); }}return 0;}