图像去模糊(维纳滤波)
来源:互联网 发布:知乎 五毛 洗地 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 19:06
在数学应用上,对于运动引起的图像模糊,最简单的方法是直接做逆滤波,但是逆滤波对加性噪声特别敏感,使得恢复的图像几乎不可用。最小均方差(维纳)滤波用来去除含有噪声的模糊图像,其目标是找到未污染图像的一个估计,使它们之间的均方差最小,可以去除噪声,同时清晰化模糊图像。
定义
给定一个系统
这里,
x(t) 是在时间t 刻输入的信号(未知)h(t) 是一个线性时间不变系统的脉冲响应(已知)n(t) 是加性噪声,与x(t) 不相关(未知)y(t) 是我们观察到的信号
我们的目标是找出这样的卷积函数g(t) ,这样我们可以如下得到估计的x(t) :x^(t)=g(t)∗y(t)
这里x^(t) 是x(t) 的最小均方差估计。
基于这种误差度量, 滤波器可以在频率域如下描述G(f)=H∗(f)S(f)|H(f)|2S(f)+N(f)=H∗(f)|H(f)|2+N(f)/S(f)
这里:G(f) 和H(f) 是g 和h 在频率域f 的傅里叶变换。S(f) 是输入信号x(t) 的功率谱。N(f) 是噪声的n(t) 的功率谱。- 上标
∗ 代表复数共轭。
滤波过程可以在频率域完成:X^(f)=G(f)∗Y(f)
这里X^(f) 是x^(t) 的傅里叶变换,通过逆傅里叶变化可以得到去卷积后的结果x^(t) 。
解释
上面的式子可以改写成更为清晰的形式
这里
推导
上面直接给出了维纳滤波的表达式,接下来介绍推导过程。
上面提到,维纳滤波是建立在最小均方差,可以如下表示:
这里
如果我们替换表达式中的
展开二次方,得到下式:
然而,我们假设噪声与信号独立无关,这样有
并且我们如下定义功率谱
这样我们有
为了得到最小值,我们对
由此最终推出维纳滤波器。
测试
Matlab自带了示例程序,如下
%Read imageI = im2double(imread('cameraman.tif'));figure,subplot(2,3,1),imshow(I);title('Original Image (courtesy of MIT)');%Simulate a motion blurLEN = 21;THETA = 11;PSF = fspecial('motion', LEN, THETA);blurred = imfilter(I, PSF, 'conv', 'circular');subplot(2,3,2),imshow(blurred);title('Blurred Image');%Restore the blurred imagewnr1 = deconvwnr(blurred, PSF, 0);subplot(2,3,3),imshow(wnr1);title('Restored Image');%Simulate blur and noisenoise_mean = 0;noise_var = 0.0001;blurred_noisy = imnoise(blurred, 'gaussian', ... noise_mean, noise_var);subplot(2,3,4),imshow(blurred_noisy)title('Simulate Blur and Noise')%Restore the blurred and noisy image:First attemptwnr2 = deconvwnr(blurred_noisy, PSF, 0);subplot(2,3,5);imshow(wnr2);title('Restoration of Blurred, Noisy Image Using NSR = 0')%Restore the Blurred and Noisy Image: Second Attemptsignal_var = var(I(:));wnr3 = deconvwnr(blurred_noisy, PSF, noise_var / signal_var);subplot(2,3,6),imshow(wnr3)title('Restoration of Blurred, Noisy Image Using Estimated NSR');
维纳滤波需要估计图像的信噪比(SNR)或者噪信比(NSR),信号的功率谱使用图像的方差近似估计,噪声分布是已知的。从第一排中可以看出,若无噪声,此时维纳滤波相当于逆滤波,恢复运动模糊效果是极好的。从第二排可以看出噪信比估计的准确性对图像影响比较大的,二排中间效果几乎不可用。
参考阅读
http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_deconvolution 英文维基百科
http://www.owlnet.rice.edu/~elec539/Projects99/BACH/proj2/wiener.html 莱斯大学的项目资料
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