线性系统可控性分析——从离散系统的角度

在自动控制理论II中我们曾学习过关于系统可控性和可观性的理论，其中证明的方法是以连续对象为例进行分析的，理解起来不够直观，这里给出从离散角度的一点分析，可能理解起来更直观一些。但证明思想和连续系统基本一致。

目录

可控性定义

考虑线性时不变系统(A,b,C)，其离散状态空间模型为（这里我们考虑单输入系统）：

x(k+1)y(k)=Ax(k)+bu(k)=Cx(k)

其中，A∈Rn×n,b∈Rn,C∈Rl×n。

对于上面的系统，如果对于任意的初始状态 x(0)∈Rn 和任意终端状态xf∈Rn ,存在一个有限的时刻 kf 和控制作用 u(k)
，使得 x(kf)=xf，则称系统完全能控（controllable）。

注意：为简化表述，我们一般令初始时刻 k0=0。同时我们往往终端状态定义为零状态，即xf=0 。 实际上，我们最关心的是是否存在一组控制率 u(0),u(1),...,u(kf−1) 使得系统能从任意初始状态 x(0) 调节到原点。

可控性证明（离散系统角度）

根据上面的模型，我们可以写出在输入的驱动下，任意时刻的状态为：

x(N)=ANx(0)+AN−1bu(0)+⋯+Abu(N−2)+bu(N−1)

假设控制作用能使 x(N) 被调节到原点，从上面可以看出我们要求解如下一个线性方程组，并从中求解出u(0),u(1),...,u(N−1)。（其实我们不需要求解出这组控制率，只需要证明这组控制率存在即可）

−ANx(0)=AN−1bu(0)+⋯+Abu(N−2)+bu(N−1)

我们可以写成如下的矩阵形式：

(AN−1b⋯Abb)⎛⎝⎜⎜⎜⎜u(0)⋮u(N−2)u(N−1)⎞⎠⎟⎟⎟⎟=−ANx(0)

因此，只要对任意的 x(0) 能保证上面的方程组有解，则该系统是可控的。而对于上面的方程组，有解的条件是：

rank(AN−1b⋯Abb)=n

这里可以引入Cayley–Hamilton定理，即：若n 阶矩阵 A 的特征多项式为：

f(λ)=λn+an−1λn−1+⋯+a1λ+a0

则：

f(A)=An+an−1An−1+⋯+a1A+a0I=0

并有推论：矩阵 A 的任意 m 次幂 (m≥n) 可表示为 A 的 n−1 阶多项式，即：

Am=∑k=0n−1αkAkm≥n

运用这个推论我们可以将上面的有解条件转换成：

rank(An−1b⋯Abb)=n

这就是最终的可控性判据了。

Ref.
《自动控制原理》：孙优贤、王慧 . 2012, 化工出版社