Median of Two Sorted Arrays

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

这道题拿到手里真的是没什么想法。唯一想到能算出来的方案即归并排序后再直接找中位数，可是归并排序的时间复杂度为o （ n log n），不符合题意。想了半天没有头绪只有借助于Internet，现将学习的算法思路整理如下，感觉有点像二分查找。

假设数组a有x个元素，数组b有y个元素，且数组a和数组b都是已经排序好的（升序），且m <= x，n <= y，则有：

（1）若a[m - 1] < b[n - 1]，则a［0］到a［m－1］属于前m＋n－1小的数；

（2）若a[m - 1] > b[n - 1]，则b［0］到b［n－1］属于前m＋n－1小的数；

（3）若a[m - 1] = b[n - 1]，则a[m - 1] == b[n - 1]等于第m＋n小的数。

通过这个思想我们可求两个排序好的数组中的任意第k小的数，即将k适当的分解成k ＝ m ＋ n两个数带入到a、b两个数组中。如果遇到情况（1），则抛弃a［0］到a［m－1］；如果遇到情况（2），则抛弃b［0］到b［n－1］；如果遇到情况（3），则a［m－1］或b［n－1］即为所求。m＝n＝k／2时，为查找的最佳情况，即每次都能删去当前一半的元素（Binary Search）。

通过上面的分析，我们可以用递归来解决问题，但还需要注意几个边界条件：

（1）若数组a和数组b有一个为空，则直接返回b［n－1］或a［m－1］；

（2）若k＝1，则直接返回a［0］或b［0］中较小的数；

（3）若a［m－1］＝b［n－1］，则返回a［m－1］或b［n－1］。

C语言代码如下：

double findKthSmallest(int *a,int m,int *b,int n,int k){if( m > n )//always assume that m <= nreturn findKthSmallest(b, n, a, m, k);if( m == 0 )//boder:a[m] is emptyreturn b[k - 1];if(k == 1)//boder:to find the smallest numberreturn a[0] <= b[0] ? a[0] : b[0];int pa = m <= k/2 ? m : k/2,pb = k - pa;//devide k into 2 parts,make sure pa <= m and pb <= nif(a[pa - 1] < b[pb - 1])return findKthSmallest(a+pa, m-pa, b, n, k-pa);else if(a[pa-1] > b[pb-1])return findKthSmallest(a, m, b+pb, n-pb, k-pb);elsereturn a[pa - 1];}double findMedianSortedArrays(int* nums1, int nums1Size, int* nums2, int nums2Size) {    int total = nums1Size + nums2Size;if(total & 0x0001)return findKthSmallest(nums1, nums1Size, nums2, nums2Size, (total + 1) / 2);elsereturn (findKthSmallest(nums1, nums1Size, nums2, nums2Size, total / 2)+ findKthSmallest(nums1, nums1Size, nums2, nums2Size, total / 2 + 1)) / 2;}

小结：

（1）看到时间复杂度为o（log n），首先想到二分法。

（2）二分法的思想在于每次查找都能删去当前一半的元素。