FFT多项式乘法学习笔记

  其实我不知道我是否真的理解了FFT，但是我会用FFT优化多项式乘法了QAQ。。
（以下大多摘自算导
前置知识
1. 多项式
  在一个代数域F上，关于变量x的多项式定义为形式和形式表示的函数

A(x)=∑j=0n−1ajxj，其中a0…an−1为多项式各项的系数

2. 多项式的次数界
  若多项式有非零系数的最高次项为xk，则称k为该多项式的次数，任何严格大于k的整数都是这个多项式的次数界。
3. 多项式的表示
（1）系数表示法
  对于一个次数界为n的多项式A（x）来说，其系数表示法可以看做是一个列向量a=（a0，a1，…，an−1）。系数表示法对于某些多项式的计算很方便，如对多项式A（x）在给定点x0的求值运算就是计算A（x0）的值。如果使用霍纳法则，则求值运算的运行时间为O（n），

A（x0）=a0+x0(a1+x0(a2+...+x0(an−2+x0(an−1))...))

  另外，加法运算的时间复杂度是O（n），暴力进行乘法运算的时间复杂度是O（n2）。
（2）点值表示法
   有n个点（x0，A（x0），），（x1，A（x1）），..，（xn−1，A（n−1）），当所有xk各不相同时，这n个点可以唯一表示一个次数界为n的多项式，但是一个次数界为n的多项式可以有多个点值表示。通俗一点说，已知一个多项式函数的n个函数值可以唯一确定这个函数，而知道这个函数可以知道不止n个函数值。
  已知点值表示求系数表示称为插值，用拉格朗日插值法可以做到O（n2）。
  若次数界为n的多项式A（x），B（x）的n个点的xk是对应相同的，点值表示法的加法操作时间复杂度是O（n），只要把对应A/B（xk）相加即可，若A（x），B（x）都已知2n个点，那把A/B（xk）相乘同样可以在O（n）时间内完成乘法运算。。

进入正题。。
1. 单位复根
  n次单位复根是满足wn=1的复数w，有n个，他们均匀的分布在以复
平面的原点为圆心的单位圆上，为e2πki/n，k=0,1，…，n−1，复数幂定义为eui=cos(u)+sin(u)i 。wn=e2πi/n称为主n次单位根，所有的其他n次单位根都是wn的幂。
  因为有wnn=w0n=1 ，所以有wjnwkn=w(j+k)modnn 。（性质1

重要性质
相消引理
   对任何整数n≥0,k≥0,d>0，有 wdkdn=wkn，利用定义不难证明
   推论：对任意偶数n>0，有wn/2n=w2=1 。
折半引理
   如果n>0为偶数，n个n次单位复根的平方等于n/2个n/2次单位复根。利用相消引理和性质1可证。
求和引理
  对于任意整数n≥1和不能被n整除的非零整数k，有 ∑n−1j=0wkjn=0。
证明：
   原式=(wkn)n−1wkn−1=(wnn)k−1wkn−1=1−1wkn−1=0 ，只要k不整除n就可以保证分母不为0。

2. DFT
  A（x）是一个次数界为n的多项式，不失一般性地假定n是2的幂，因为
次数界总是可以增大的。有列向量y=（y0，y1，…，yn−1），其中yk=A（wkn），则称y是系数向量a的离散傅里叶变换，也写作y=DFTn(a)。

3. 快速傅里叶变换（FFT）
  FFT是一种可以在O（nlogn）时间内计算出DFTn(a)的算法，主要思想
是分治。
  定义A0（x）=a0+a2x+a4x2+…+an−2xn/2−1，包含了A（x）
所有偶数下标的系数，A1（x）=a1+a3x+a5x2+…+an−1xn/2−1,包含了A（x）所有奇数下标的系数。易得A（x）=A0（x2）+xA1（x2），所以我们可以先求A0和A1的DFT，然后再组合起来。组合的时候有

A(wk+n/2n)=A0(w2k+nn)+wk+n/2nA1(w2k+nn)=A0(wkn)+wknw2A1(wkn)=A0(wkn)−wknA1(wkn)

所以用n2个yk就可以推出全部。根据折半引理，问题的规模缩小一半，每次组合的时间复杂度是O（n），所以总时间复杂度是O（nlogn）。
   求出DFTn(a)后，要对单位复根进行插值，将点值表示转化为系数表示，有y=Vna,其中

Vn=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1111...11wnw2nw3n...wn−1n1w2nw4nw6n...w2n1w3nw6nw9n...w3n..................1wn−1nw2(n−1)nw3(n−1)n...w(n−1)(n−1)n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

是范德蒙特矩阵。
a=Vn−1∗y，考虑Vn−1在（j，k）处的数Vj,k，根据V−1nVn=In（n阶单位矩阵）有

∑t=0n−1Vj,twktn={1(j=k)0(j!=k)

定理：Vj,k=w−kjn/n
证明：∑n−1t=0Vj,twktn=1n∑n−1t=0wt(k−j)n,当j=k时，上式=1，否则由求和引理可得上式为0，得证。
  那么有 aj=1n∑n−1k=0ykw−kjn，因此在求逆DFT的时候可以类似于求DFT，只要把y和a角色互换，然后让 wn=w−1n，再做FFT即可。
  写的时候发现非递归要比递归快很多。。

递归：

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cmath>#include<memory.h>#define N 400010using namespace std;const double pi=acos(-1);struct complex{    double x,i;    complex(){}    complex(double x,double i):x(x),i(i){}    complex operator+(complex a) {return complex(x+a.x,i+a.i);}    complex operator-(complex a) {return complex(x-a.x,i-a.i);}    complex operator*(complex a) {return complex(x*a.x-i*a.i,x*a.i+i*a.x);}}a[N],b[N];int n,m,i,nn;void fft(complex *a,int n,int t){    if (n==1) return;    complex a0[n>>1],a1[n>>1];    for (int i=0;i<n;i+=2) a0[i>>1]=a[i],a1[i>>1]=a[i+1];    fft(a0,n>>1,t);fft(a1,n>>1,t);    complex wn(cos(2*pi/n),t*sin(2*pi/n)),w(1,0);    for (int i=0;i<(n>>1);i++,w=w*wn) a[i]=a0[i]+w*a1[i],a[i+(n>>1)]=a0[i]-w*a1[i];}int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));    for (i=0;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i].x);    for (i=0;i<=m;i++) scanf("%lf",&b[i].x);    nn=1;while (nn<=n+m) nn<<=1;    fft(a,nn,1);fft(b,nn,1);    for (i=0;i<=nn;i++) a[i]=a[i]*b[i];    fft(a,nn,-1);    for (i=0;i<=n+m;i++) printf("%d ",(int)(a[i].x/nn+0.5));}

非递归：

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cmath>#include<memory.h>#define N 400010using namespace std;const double pi=acos(-1);struct complex{    double x,i;    complex(){}    complex(double x,double i):x(x),i(i){}    complex operator+(complex a) {return complex(x+a.x,i+a.i);}    complex operator-(complex a) {return complex(x-a.x,i-a.i);}    complex operator*(complex a) {return complex(x*a.x-i*a.i,x*a.i+i*a.x);}}a[N],b[N];int n,m,i,nn,len,rev[N];void fft(complex *a,int n,int t){    for (int i=0;i<n;i++) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);    for (int j=1;j<n;j<<=1)    {        complex wn(cos(2*pi/(j<<1)),t*sin(2*pi/(j<<1)));        for (int i=0;i<n;i+=(j<<1))        {            complex w(1,0),t0,t1;            for (int k=0;k<j;k++,w=w*wn) t0=a[i+k],t1=w*a[i+j+k],a[i+k]=t0+t1,a[i+j+k]=t0-t1;        }    }}int main(){    freopen("FFT.in","r",stdin);    scanf("%d%d",&n,&m);    memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));    for (i=0;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i].x);    for (i=0;i<=m;i++) scanf("%lf",&b[i].x);    nn=1;len=0;while (nn<=n+m) nn<<=1,len++;    rev[0]=0;    for (i=1;i<nn;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));    fft(a,nn,1);fft(b,nn,1);    for (i=0;i<=nn;i++) a[i]=a[i]*b[i];    fft(a,nn,-1);    for (i=0;i<=n+m;i++) printf("%d ",(int)(a[i].x/nn+0.5));}

  非递归这里有一个翻转的函数，意在让所有数按合并时候的二叉树的叶子节点的顺序排列，不难发现翻转过来就是它的新位置。。