Problem B: [NOIP2013]花匠 D2 T2

[NOIP2013]花匠 D2 T2

Description:

花匠栋栋种了一排花，每株花都有自己的高度。花儿越长越大，也越来越挤。栋栋决定把这排中的一部分花移走，将剩下的留在原地，使得剩下的花能有空间长大，同时，栋栋希望剩下的花排列得比较别致。

具体而言，栋栋的花的高度可以看成一列整数ℎ1, ℎ2, … , ℎn。设当一部分花被移走后，剩下的花的高度依次为g1, g2, … , gm，则栋栋希望下面两个条件中至少有一个满足：

条件 A：对于所有的1 ≤ i ≤ m/2，g2i > g2i−1，且g2i > g2i+1；

条件 B：对于所有的1 ≤ i ≤ m/2，g2i < g2i−1，且g2i < g2i+1。

注意上面两个条件在m = 1时同时满足，当m > 1时最多有一个能满足。

请问，栋栋最多能将多少株花留在原地。

Input

输入的第一行包含一个整数 ，表示开始时花的株数。
第二行包含 个整数，依次为ℎ1, ℎ2,… , ℎn，表示每株花的高度。

Output

输出一行，包含一个整数m，表示最多能留在原地的花的株数。

Sample Input

5
5 3 2 1 2

Sample Output

3

HINT

【输入输出样例说明】

有多种方法可以正好保留 3 株花，例如，留下第 1、4、5 株，高度分别为 5、1、2，满足条件 B。

【数据范围】

对于 20%的数据，n ≤ 10；

对于 30%的数据，n ≤ 25；

对于 70%的数据，n ≤ 1000，0 ≤ ℎi ≤ 1000；

对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤ ℎi ≤ 1,000,000，所有的ℎi随机生成，所有随机数服从某区间内的均匀分布。

Solution：

—–这道题，有点难度—–
首先前面的分析先不加赘述了，最简单的方法当然是摒弃复杂的状态转移方程，试图从不同的方法，用不同的眼光来解决问题；
在这里就用最简单巧妙的方法进行一下简单说明吧。
由于题目要求是求一个“抖动数列”，所以最优的解决方法就是保留所有拐点
首先对于1 3 5 7 或者 10 6 4 3 这种单调递增的数列可以进行缩点，就是可以把它们看成是一个点，那么这道题就转化成了求“拐点”的个数。
说着简单，但真正实现起来却让了花费了好长时间，因为这道题有以下的几点注意事项：

1. 起始点以及终点也算是拐点，所以初始值应该是2；
2. 1中说的并不完全，如果有数据为常数列如3 3 3 3 3则答案应为1，但是应该不会有这种数据
3. .如果数据中间有相同的两个数据 如 5 5 那么需要分两种情况讨论：一是看着两个相同的数是否为最值，如为最值则算作一个拐点，否则不算。

最开始想到的方法是求斜率，用几何画板画了一下，发现因为Δx恒为1，所以k[i+1]=a[i]-a[i-1];所以当相邻的k[i]异号时则出现一个拐点，但又有问题了
3中说的最值是相对而言的，是在相邻的两个数中是最值，即
(k[i]==0&&(a[i]==a[i+1]&&a[i]>a[i-1])&&a[i]>a[i+2])||(k[i]==0&&(a[i]==a[i+1]&&a[i]<=a[i-1]&&a[i]<=a[i+2]))

如图，（5,2），（6,2) 也算一个拐点。

大概就是这么些注意事项，总之你懂得… …
Code：

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<stdlib.h>#define MAXN 200000int n,min=99999999,max=-1;;int a[MAXN],k[MAXN];int judge(int i,int j)// j = i-1;{    if((k[i]>0&&k[j]<0)||(k[i]<0&&k[j]>0))    {        return 1;    }    if((k[i]==0&&(a[i]==a[i+1]&&a[i]>a[i-1])&&a[i]>a[i+2])||(k[i]==0&&(a[i]==a[i+1]&&a[i]<=a[i-1]&&a[i]<=a[i+2])))    {        return 1;    }    return 0;}int main(){    int ans=2;    scanf("%d",&n);    int flag=0;    for(int i=1;i<=n;i++)    {        scanf("%d",&a[i]);        if(a[i]>max)        {            max=a[i];        }        if(a[i]<min)        {            min=a[i];        }        if(i>=2&&flag==0)        {            if(a[i]!=a[i-1])            {                flag=1;            }        }    }    if(flag==0)    {        printf("1\n");        return 0;    }    for(int i=2;i<=n;i++)    {        k[i-1]=a[i]-a[i-1];    }    /*        for(int i=1;i<=n-1;i++)        {            printf("%d ",k[i]);        }    printf("\n");    */    for(int i=2;i<=n-1;i++)    {        ans+=judge(i,i-1);    }    printf("%d\n",ans);    return 0;}