Kmeans++及字典学习和图像分割

1. Kmeans++

Kmeans 中对聚类中心的初始化比较敏感，不同的初始值会带来不同的聚类结果，这是因为 Kmeans 仅仅是对目标函数求近似最优解，不能保证得到全局最优解。

在常规的 Kmeans 中，聚类中心的初始化都采用随机初始化的方式，这样会存在一个问题：如果数据在某个部分较密集，那么产生的随机数会以更高的概率靠近这些数据。

例如，假设输入数据为：

[0.8,0.85,0.9,0.95,1,1.05,1.1,1.2,3.0,3.1,3.2]，

如下图所示：

如果随机初始化两个聚类中心，那这两个聚类中心都会以更高的概率靠近 1.0 附近的数据，也就是说，很可能出现：随机初始化的两个聚类中心都聚类 1.0 附近的数据较近，这样会导致聚类效果不好。

为了解决上述问题，David Arthur 提出了 Kmeans++ 算法，该方法可以有效的产生好的聚类中心，过程如下：

1. 从输入的数据点集合中随机选择一个点作为第一个聚类中心
2. 对于数据集中的每一个点x，计算它与最近聚类中心(指已选择的聚类中心)的距离D(x)
3. 选择一个新的数据点作为新的聚类中心，选择的原则是：D(x)较大的点，被选取作为聚类中心的概率较大
4. 重复2和3直到k个聚类中心被选出来
5. 利用这k个初始的聚类中心来运行标准的k-means算法

其中，第 3 步的实现为，先取一个能落在Sum(D(x))中的随机值 Random，然后用Random -= D(x)，直到其<=0，此时的点就是下一个“种子点”。

假设第一个聚类中心为 1，那么，所有输入数据与聚类中心的距离 D为：

D(x)=[0.2,0.15,0.1,0.05,0,0.05,0.1,0.2,2.,2.1,2.2]

对 D 求前缀和，得到 D1，D1为：

D1=[0.2,0.35,0.45,0.5,0.5,0.55,0.65,0.85,2.85,4.95,7.15]

如下图所示：

此时产生一个随机数 random∈(0, 1)，并乘以 D1(end) = 7.15，那么，该数大于等于 0.85 的概率会非常大，假设为 4，那么第10 个数，4.95 是第一个大于 4 的数，就把输入数据中的第 10 个，也就是 3.1 作为新的聚类中心。

上述过程的意义为：让新的聚类中心以更大的概率远离已有的聚类中心，以避免聚类中心以高概率分布在数据密集的部份。

2. 字典学习

参考《Learning Feature Representations with K-means》。

2.1 第一步：图像分块，作为样本

从输入图像中截取图像块（可以有重叠），块的大小可以为8x8，16x16等，块的大小决定了样本的维度，为了得到更好的字典，块越大，需要的训练样本越多。对于 16x16 的块，100 000 个样本足以。然后把每个块拉成一维，并把所有的样本合并，组成一个矩阵：

X=[x1,x2,xi,...,xn]

其中xi=[xi1,xi2,...,xim]T，m 为样本的维度，也就是图像块的大小，n 为样本的个数。

2.2 输入归一化

一般会对数据进行归一化，归一化的过程如下式所示：

x(i)=x~(i)−mean(x~(i))var(x~(i))+ε−−−−−−−−−−√

其中，mean 表示x~(i) 的均值，var 表示x~(i) 的方差。对于图像数据，范围在[0-255]，ε 可以取10，

2.3 输入白化

白化是为了降低输入冗余性，使输入样本具有如下特性：

1. 特征之间相关性低
2. 所有特征具有相同的协方差

也就是对输入样本 X 进行一种变换，使得到新的 X 满足 X 的协方差矩阵为单位阵。

具体可以通过如下操作完成：

[V, D] = eig(cov(x))，也就是说 VDV' = cov(x)x = V(D + epsilon*I)^(-0.5)V'x

对于 16x16 的图像块，epsilon可以取 0.01，对于 8x8 的图像块，epsilon可以取 0.1。

2.4 聚类

以新的 X 作为输入样本进行 Kmeans 聚类。

2.5 结果

以“leaves”图作为输入图像，如下所示：

未归一化和白化，直接进行聚类的结果如下所示：

先归一化和白化，然后进行聚类的结果如下所示：

图像中有些字典很像噪声，这是因为这些字典类别中的样本数较少。

3.图像分割

首先对彩色图像进行颜色空间的转换，从 RGB 通道转为 Lab 颜色空间，其中，L表示亮度（Luminosity），a表示从洋红色至绿色的范围，b表示从黄色至蓝色的范围。在此我们以 ab 通道数据作为一个样本，也就是说样本的维度为2，样本的个数就是图像的像素个数。

然后利用 Kmeans 对数据样本进行聚类和标记，每一种类别代表一种分割的区域。

输入图像：

分割后的输出图像：

4. 参考

《视觉机器学习20讲》

《Learning Feature Representations with K-means》

《zouxy09的专栏》

5. 代码

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