主成份分析算法原理

降维的必要性

1.多重共线性--预测变量之间相互关联。多重共线性会导致解空间的不稳定，从而可能导致结果的不连贯。

2.高维空间本身具有稀疏性。一维正态分布有68%的值落于正负标准差之间，而在十维空间上只有0.02%。

3.过多的变量会妨碍查找规律的建立。

4.仅在变量层面上分析可能会忽略变量之间的潜在联系。例如几个预测变量可能落入仅反映数据某一方面特征的一个组内。

降维的目的：

1.减少预测变量的个数

2.确保这些变量是相互独立的

3.提供一个框架来解释结果

降维的方法有：主成分分析、因子分析、用户自定义复合等。

 

PCA（Principal Component Analysis）不仅仅是对高维数据进行降维，更重要的是经过降维去除了噪声，发现了数据中的模式。

PCA把原先的n个特征用数目更少的m个特征取代，新特征是旧特征的线性组合，这些线性组合最大化样本方差，尽量使新的m个特征互不相关。从旧特征到新特征的映射捕获数据中的固有变异性。

预备知识

样本X和样本Y的协方差(Covariance)：

协方差为正时说明X和Y是正相关关系，协方差为负时X和Y是负相关关系，协方差为0时X和Y相互独立。

Cov(X,X)就是X的方差(Variance).

当样本是n维数据时，它们的协方差实际上是协方差矩阵（对称方阵），方阵的边长是。比如对于3维数据(x,y,z)，计算它的协方差就是：

若，则称是A的特征值，X是对应的特征向量。实际上可以这样理解：矩阵A作用在它的特征向量X上，仅仅使得X的长度发生了变化，缩放比例就是相应的特征值。

当A是n阶可逆矩阵时，A与P^-1Ap相似，相似矩阵具有相同的特征值。

特别地，当A是对称矩阵时，A的奇异值等于A的特征值，存在正交矩阵Q（Q^-1=Q^T），使得：

对A进行奇异值分解就能求出所有特征值和Q矩阵。

     D是由特征值组成的对角矩阵

由特征值和特征向量的定义知，Q的列向量就是A的特征向量。

Jama包

Jama包是用于基本线性代数运算的java包，提供矩阵的cholesky分解、LUD分解、QR分解、奇异值分解，以及PCA中要用到的特征值分解，此外可以计算矩阵的乘除法、矩阵的范数和条件数、解线性方程组等。

PCA过程

1.特征中心化。即每一维的数据都减去该维的均值。这里的“维”指的就是一个特征（或属性），变换之后每一维的均值都变成了0。

很多数据挖掘的教材上都会讲到鹫尾花的例子，本文就拿它来做计算。原始数据是150×4的矩阵A：

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每一列减去该列均值后，得到矩阵B：

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2.计算B的协方差矩阵C:

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3.计算协方差矩阵C的特征值和特征向量。

C=V*S*V^-1

S=

4.2248414 　　　　0 　　　　　　0 　　　　　　0 
0 　　　　　　　　 0.24224437 　0 　　　　 　   0 
0 　　　　　　　　 0 　　　　　　0.078524387   0 
0 　　　　　　　　 0 　　　　　　0 　　　　　　 0.023681839

V=

0.36158919 　　0.65654382 　　-0.58100304 　　0.3172364 
-0.082268924 　　 0.72970845 　　 0.596429220 　　    -0.3240827 
0.85657212　　-0.17576972 0.　　072535217 　　 -0.47971643 
0.35884438 　　 -0.074704743 　　 0.54904125 　　 0.75113489

4.选取大的特征值对应的特征向量，得到新的数据集。

特征值是由大到小排列的，前两个特征值的和已经超过了所有特征值之和的97%。我们取前两个特征值对应的特征向量，得到一个4×2的矩阵M。令A'_150×2=A_150×4M_4×2，这样我们就把150×4的数据A集映射成了150×2的数据集A'，特征由4个减到了2个。

A'=

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每个样本正好是二维的，画在平面坐标系中如图：

鹫尾花数据集共分为3类花（前50个样本为一类，中间50个样本为一类，后50个样本为一类），从上图可以看到把数据集映射到2维后分类会更容易进行，直观上看已经是线性可分的了，下面我们用自组织映射网络对其进行聚类。

当然我们已知了有3类，所以在设计SOFM网络时，我把竞争层节点数设为3，此时的聚类结果是前50个样本聚为一类，后100个样本聚为一类。当把竞争层节点数改为4时，仅第2类中的3个样本被误分到了第3类中，整体精度达98%！

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输出聚类结果：

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