图论之最小生成树-prim算法和Kruskal算法

参考这篇博客：
http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html

总结：

prim算法：

算法简单描述

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：V_new = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new = {},为空；

3).重复下列操作，直到V_new = V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合V_new中的元素，而v不在V_new集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合V_new中，将<u, v>边加入集合E_new中；

4).输出：使用集合V_new和E_new来描述所得到的最小生成树。

下面对算法的图例描述

图例说明不可选可选已选（V_new） 

此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。---

顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。C, GA, B, E, FD 

下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。C, GB, E, FA, D算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。CB, E, GA, D, F 

在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。无C, E, GA, D, F, B 

这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。无C, GA, D, F, B, E

顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。无GA, D, F, B, E, C

现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。无无A, D, F, B, E, C, G

 练习：poj1258：

代码：#include<stdio.h>

#include<string.h>#include<stdlib.h>#define max 1000000long m,n,sum;long map[1000][1000],dis[1000],vis[1000];int  prim(long map[][1000],long n){    int min;    sum=0;    for(int i=1; i<=n; i++)        dis[i]=map[1][i];    memset(vis,0,sizeof(vis));    vis[1]=1;    for(int i=1; i<n; i++)    {        min=max;        int u=-1;        for(int j=1; j<=n; j++)            if(dis[j]<min&&!vis[j])            {                min=dis[j];                u=j;            }        if(u==-1)break;        vis[u]=1;        sum+=min;        for(int j=1; j<=n; j++)            if(map[u][j]<dis[j])                dis[j]=map[u][j];    }    return sum;}int main(){    while(scanf("%d",&m)!=EOF)    {        for(int i=1; i<=m; i++)            for(int j=1; j<=m; j++)                scanf("%d",&map[i][j]);        printf("%d\n",prim(map,m));    }    return 0;}

Kruskal算法：

算法简单描述
1).记Graph中有v个顶点，e个边
2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
                if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
                                         添加这条边到图Graphnew中
图例描述：
首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边 
 
将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图
 
 
 
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。
下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是右：
 
 
 练习：poj1251
代码：#include<iostream>
#include<cstdio>#include <algorithm>using namespace std;#define MAX 26/* 定义边(x,y)，权为w */struct node{    int x, y;    int w;};struct node e[MAX * MAX];int father[MAX];int ans;int cmp(struct node a, struct node b){    return a.w < b.w;}int cha(int x){    if (x != father[x])        father[x] = cha(father[x]);    return father[x];}void bing(int x, int y, int w){    int xx=cha(x);    int yy=cha(y);    if (xx== yy) return;    father[x] = y;    ans += w;}int main(){    int k, m, n;    char ch;    while(scanf("%d",&m)!=-1&& m != 0)    {        k = 0;        for (int i = 0; i < m; i++)            father[i]=i;        for (int i = 0; i < m - 1; i++)        {            cin >> ch >> n;            for (int j = 0; j < n; j++)            {                cin >> ch >> e[k].w;                //scanf("%c%d",ch,&e[k].w);                // getchar();                e[k].x = i;                e[k].y = ch - 'A';                k++;            }        }        sort(e, e + k,cmp);        ans =0;        for (int i = 0; i < k; i++)        {            int h=cha(e[i].x),g=cha(e[i].y);            bing(h,g,e[i].w);        }        printf("%d\n",ans);    }    return 0;}

PS:

自己的理解，大多数题用k可以搞定，但是有些题是不能的，我记忆的方法是prim是从点来找，而k是通过定义先将所有的边进行排序操作之后通过边的权值来继续算法的。（希望不要弄混了。看自己的想法吧）。