我们为什么需要信息增益比，而不是信息增益？

                     表一 满足什么情况才去玩高尔夫 [1]

Day Temperatrue Outlook Humidity Windy PlayGolf? 07-05 hot sunny high false no 07-06 hot sunny high true no 07-07 hot overcast high false yes 07-09 cool rain normal false yes 07-10 cool overcast normal true yes 07-12 mild sunny high false no 07-14 cool sunny normal false yes 07-15 mild rain normal false yes 07-20 mild sunny normal true yes 07-21 mild overcast high true yes 07-22 hot overcast normal false yes 07-23 mild sunny high true no 07-26 cool sunny normal true no 07-30 mild sunny high false yes

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决策树是机器学习中的经典算法，分别由三个经典算法实现：ID3，C4.5，CART，这三个算法最明显的区别就是对于特征选择的策略不同，不过目的只有一个：使当前数据集的混乱程度降低。具体来说，ID3使用的信息增益，C4.5使用的信息增益比，CART使用的Gini指数（基尼指数）

对于ID3和C4.5的信息增益和信息增益比有什么区别呢，为什么放着信息增益不用，又要计算一个gainratio呢？这就是下面的内容要讨论的。

讨论之前先来几个公式压压惊。

在信息论与概率统计中，熵（entropy）是表示随机变量不确定性的度量[2]。设X的概率分布为

P(X=Xi)=pi,i=1,2,...,n

则随机变量X 的熵定义为

H(X)=−∑i=1npilogpi

其实公式看起来挺吓人的，但是计算的时候很简单。拿表一作为计算的例子，假设

p1=Num(no)/(Num(no)+Num(yes))

,

p2=Num(yes)/(Num(no)+Num(yes))

那么

H(D)=−514log514−914log914=0.9403

条件熵定义为

H(D|A)=∑i=1npiH(Y|A=ai)

条件熵在这里指的就是特征A对训练数据集D经验条件熵，再举一个例子，假如把Outlook作为分隔样本的特征的话，那么

E(Outlook=sunny)=−25log25−35log35=0.971

E(Outlook=overcast)=−1log1−0log0=0

E(Outlook=rainy)=−35log35−25log25=0.971

所以

H(D|A)=514⋅0.971+414⋅0+514⋅0.971=0.693

得到了熵和条件熵，那么信息增益就好求了，公式如下

g(D,A)=H(D)−H(D|A)

所以，g(D,Outlook)=0.9403−0.693，以此类推，可以求得g(D,Temperatrue) g(D,Humidity) g(D,Windy)，信息增益越大说明该特征对于减少样本的不确定性程度的能力越大，也就代表这个特征越好。这种选择特征的思路就是ID3算法选择特征的核心思想。

本来ID3算法计算信息增益好好的，但是C4.5一定要计算信息增益比(gainratio)这是为什么呢？
还是以表一为例，假如我们想用Day来做为特征(当然实际上一般人也不会傻到用Day用做特征)，显然，每一天都可以将样本分开，也就是形成了一颗叶子数量为14，深度只有两层的树。这种样本分隔的结果就是计算出来的H(D|Day)=0,那么g(D,Day)=0.9403, 这特征可真是够“好”的！不过显然这种特征对于样本的分隔没有任何意义。类似的情况还有人们的身份证号、信用卡号、学号等等特征。
那么导致这样的偏差的原因是什么呢？从上面的例子应该能够感受出来，原因就是该特征可以选取的值过多。解决办法自然就想到了如何能够对树分支过多的情况进行惩罚，这样就引入了下面的公式，属性A的内部信息（Intrinsic Information of an Attribute）：

IntI(D,A)=∑i|Di||D|log(|Di||D|)

这样对于天气来说IntI(Day)=14⋅(−114⋅log(114))=3.807
这就是针对分支数目的惩罚项，
这样信息增益比公式就出来了：

gr(D|A)=g(D)−g(D|A)IntI(D,A)

总结上面的公式，计算得到下表：

OutLook Temperatrue Gain:0.940-0.693 = 0.247 Gain:0.940-0.911 = 0.029 Gain ratio: 0.245/1.577 = 0.157 Gain ratio:0.029/1.557 = 0.019 Humidity Windy Gain:0.940-0.788 = 0.152 Gain:0.940-0.911 = 0.029 Gain ratio: 0.152/1.000 = 0.152 Gain ratio:0.048/0.985 = 0.049 Day Gain ratio:0.940/3.807 = 0.246

然而。。。最终还是Day的特征优势最大。。。Orz
不过虽然这样，信息增益率还是要比信息增益可靠的多的！另外也可以看出，对特征的筛选也是非常重要的步骤，可以减少信息增益率失效的几率。

[1] http://www.ke.tu-darmstadt.de/lehre/archiv/ws0809/mldm/dt.pdf
[2] 李航. 统计学习方法.