五大算法---分治算法

一：分治算法和递归

1.简述递归

我们要讲到分治算法，我觉得有必要说一下递归，他们就像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计中，并由此产生许多高效的算法。
直接或间接的调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。

int fibonacci(int n){    if (n <= 1) return 1;    return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);}

先简单看一下经典的递归例子，博主会找个时间系统详细的总结一下关于递归的内容。

2.简述分治

分治法的设计思想是：

1. 分–将问题分解为规模更小的子问题；
2. 治–将这些规模更小的子问题逐个击破；
3. 合–将已解决的子问题合并，最终得出“母”问题的解；

一个先自顶向下，再自底向上的过程。

凡治众如治寡，分数是也。—孙子兵法

3.分治法与递归的联系

由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。

二：分治法的适用条件

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；

第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、

第三条是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。

第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好

三：分治法的基本步骤

• 分解问题：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；（自顶向下）

这里涉及到一个平衡子问题的思想：人们从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。即将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。

• 解决问题：如果问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题，以得到小问题的解。
• 合并结果：将各个子问题的解合并为原问题的解：（自底向上）。
  它的一般算法设计模式如下：

divide-and-conquer(P){    if ( | P | <= n0) adhoc(P);   //（2）解决问题：递归到小问题，则解决小规模的问题（自顶向下）    divide P into smaller subinstances P1,P2,...,Pk；//（1）分解问题    for (i=1,i<=k,i++)      yi=divide-and-conquer(Pi);  //利用递归的解各子问题    return merge(y1,...,yk);  //将各子问题的解合并为原问题的解（自底向上）    }

四：分治法的复杂性分析

从分治法的一般设计模式可以看出，用他设计出的程序一般是递归算法。因此分治法的计算效率通常可以用递归方程来进行分析。
一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n/m的子问题去解。设分解阀值（表示当问题P规模不超过n0时，问题已容易解出，不必再继续分解）n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：

通常可以用展开递归式的方法来解这类递归方程，反复带入求解得

五：分治法的经典例题

1. 二分搜索技术
2. 大整数的乘法
3. Strassen矩阵乘法
4. 棋盘覆盖
5. 合并排序
6. 线性时间选择
7. 最接近点对问题
8. 快速排序
9. 循环日程表

参考资料：

江南大学计算机系袁运浩老师的算法分析课件/计算机算法与分析（第四版）