BellmanFord单源最短路径路径算法差分约束系统ZOJ–2770

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ZOJ-2770 Burn the Linked Camp题目的大意为：
陆逊侦查得知刘备将自己的军队分为N个营,从左到右编号为1,2,3…N。第i个营有最大士兵数Ci，通过一段时间的观察，陆逊可以估算至少有k个士兵住在第i到第j个营地,最后陆逊必须要估算刘备的军队至少有多少士兵，以便应对。

输入：
有多个测试案例，在每个测试案例的第一行，有两个整数N（0＜n＜＝1000）和M（0 <= M = 10000）。第二行中，有n个整数C1…CN。然后M行，每行有三个整数i，j，k（0 < <= j <= N，0≤k＜2 ^ 31），这意味着从i到j营士兵总数量至少是K.

输出：
对于每一个测试案例，在一行一个整数，输出：根据陆逊的观察估算刘备军队最少的士兵数。然而，陆逊估计在输入数据可能很不精确。如果他的估计是不真实的，输出“Bad Estimations”在单一的一行。

解题思路：
题目要求从观察结果中求出刘备军队里士兵的最小值。由于每个营地都有能容纳士兵的最大值，存在不等约束关系，此题可以考虑用差分约束系统解题。
差分约束系统：
如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成,其中每个约束条件都形如：

Xj-Xi<=Bk   (i,j∈[1,n],k∈[1,m])

则称其为差分约束系统。

求解差分约束系统:
求解差分约束系统，可以转化成图论的单源最短路径问题，

Xj-Xi<=BkXj<=Xi+Bk

类似最短路径的三角不等式
distance[v]<= distance[u]+weight[u,v]
即distance[v] - distance[u]<=weight[u,v]
因此，以每个变量Xi为结点，对于约束条件
Xj-Xi<=Bk 即 Xj<=Xi+Bk
连接一条边(i,j)，权值为Bk
再增加一个源点A,A与所有顶点相连，权值均为0，如果图中存在负环，则无解，否则，从源点到其它顶点的单源最短路径就是问题的一组可行解。

设有N个营地,编号为 i（i=1、2、3…N）， K(i)代表第i（i=1、2、3…N）个营地的士兵数加上编号小于i的所有营地的士兵数。
则第j（j=1、2、3…N）个营地的士兵数为K(j)-K(j-1)
若M(j)表示营地j能容纳的最大士兵数，则有不等关系：

K(j)-K(j-1)<=M(j)

变换得

K(j)<=K(j-1)+M(j)

为了避免第一个营地的特殊情况，我们增加一个编号为0且士兵数为0的营地，即K(1)-K(0)=K(1).这个营地只是辅助，对结果不产生影响。
我们设每个编号i的营地为顶点i（i=0,1,2…N）,我们添加一个源点，源点到所有其他顶点都有一条有向边，权值为0，不需要保存该点，只是辅助解题，保证图的连通性。则K(j)和K(j-1)分别为从源点到j,j-1两点的最短路径权值，若营地j的士兵数为M(j)，则有K(j)<=K(j-1)+M(j),可以从j到j-1连接一条有向边，权值为M(j)，问题转化为求从源点到顶点j的单源最短路径。
因为从源点到点j的最短路径必定满足K(j)<=K(j-1)+M(j)
同理，从营地i到j之间至少有X个士兵，则有不等关系：

K(j)-K(i-1)>=X

变换为

K(i-1)<=K(j)-X

于是，从顶点j到顶点i-1连一条有向边，权值为-X,求解源点到j点的最短路径时必定也满足该不等式K(i-1)<=K(j)-X

其中K(1),K(2)…K(N)为差分约束系统的一组解，当答案要求非负时，我们对每个解加上一个常数C便可。
最后源点到点N的最短路径便是问题的解，但实际上士兵数不能为负，因为求最少的士兵总数，我们可以加上一个最小的常数C，使得该组解非负。
当图中存在负权环时，问题无解。因为若存在负权环，不停地走这个环的话，最短路径趋向负无穷，显然不可能存在最短路径。
该题涉及负权边，用Bellman Ford算法求解最短路径较合适。

Bellman Ford算法思想是基于以下事实：

“两个点间如果存在最短路径，那么每个结点最多经过一次。”

也就是说，对n个结点的图，这条路不超过n-1条边。

如果一个结点经过了两个，说明我们走了一个圈：

如果该圈的权为正，显然不划算；
如果是负圈，不存在最短路径；
如果是零圈，去掉不影响最短路径。

路径边数上限为m的最短路径，可以通过由边数上限为m-1时的最短路径“外加一条边”来求，则最多只需要迭代n-1次就可以求出最短路径。

Bellman Ford算法伪代码如下：

//V(G)为图G的顶点集，E(G)为图G的边集for i=0 to |V(G)|    for 每条边(u,v)属于E(G)//松弛每条边    if(distance[v]>distance[u]+weight[u,v])      distance[v]=distance[u]+weight[u,v]    end forend forfor 每条边(u,v)属于E(G)//检查是否有负环    if(distance[v]>distance[u]+weight[u,v])      return falseend forreturn true

算法时间复杂度O(VE)。
该算法简单容易理解，缺点是时间复杂度较高，这里可以用队列进行优化，本文重点是最短路径算法如何应用在差分约束系统，便不再赘述。

Bellman Ford算法用到松弛技术：
维护一个源点到所有其它点的距离表distance[]，松弛一条边(u,v)的过程包括测试我们是否可以通过结点u对目前到v结点的最短路径distance[v]进行修改，如果通过u到达v的路径更短，则更新distance[v]。这样便是保证每两个结点都有

distance[v]<= distance[u]+weight[u,v]

伪代码如下：

if(distance[v]> distance[u]+weight[u,v])//不符合就调整   distance[v] = distance[u]+weight[u,v]

代码:

#include<stdio.h>#include<vector>using namespace std;int *disList;//求最短路径时维护的距离表struct Edge{//边结构    int start;//起点    int end;//终点    int weight;//权值};vector<Edge> E;//存放边集的容器vector<Edge>::iterator it;//边的迭代器bool bellmanford(int N)//求每个顶点到源点的最短路径{    while(--N)//走N-1 条边    {        for (it = E.begin(); it != E.end();it++)//对每条边进行松弛        {            if (it->weight + disList[it->start]< disList[it->end])            {                disList[it->end] = it->weight + disList[it->start];            }        }    }    for (it = E.begin(); it != E.end(); it++)//若还能进行松弛，说明存在负环，无解    {        if (it->weight + disList[it->start]< disList[it->end])        {            return false;        }    }    return true;};void output(int N){    if (!bellmanford(N))printf("Bad Estimations\n");    else//根据实际情况，兵营士兵数不能为负，将所有解化为正数    {        int min = disList[0];        for (int i = 1; i <= N; i++)        {            if (min > disList[i])min = disList[i];        }        if (min < 0)        {            disList[N] = disList[N] - min;        }        printf("%d\n", -disList[N]);    }};int main(){    int N, M;    Edge e;    while (scanf("%d%d", &N,&M) ==2)    {        E.clear();//清空容器        disList = new int[N + 1];        for (int i = 0; i <= N;i++)//初始化距离表            disList[i]=0;        //数据输入        for (int i = 1; i <= N; i++)        {            scanf("%d", &e.weight);            e.start = i - 1;            e.end = i;            E.push_back(e);//营地i的最大士兵数为w,向矩阵图插入由i-1指向i权值为w的有向边        }        int a, b,c;        for (int i = 0; i < M; i++)        {            scanf("%d%d%d", &a,&b,&c);            e.start = b;            e.end = a - 1;            e.weight = -c;            E.push_back(e);//营地a与营地b之间至少士兵数为c，向矩阵图中插入由点b指向点a，权值为-c的有向边        }           output(N);//输出结果        delete[]disList;//释放内存    }    return 0;}

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