poj-3253哈夫曼树

题目的意思是。要把一块木板切成所需要的n块，但是每切一刀需要收费。收费的方法是（网上有一些人理解有误）：

每当在一块木板上动刀子，这块木板的原有长度代表了这刀的费用。

思路：

切割的过程可以用一棵二叉树表示，每个节点有两个或者没有子节点，
节点存储切割过程中每块木板的长度。父节点的值=两个子节点相加 
根节点是原始木板长度。每块所需要的木板都是叶子节点。
非叶子节点的值之和就是要花的总价格。


定理1： 
如果要使得总价格最少，就要求高层（靠近根）的每一个节点的值 大于 低层每一个节点的值


证明： 
运用反证法，假如某一棵二叉树，总价格最低，且不满足定理1。
假如第N层a节点大于第M层b节点，N>M  a-b = c 
那么，我们可以构造出一棵二叉树，即把第N层的a节点和M层的b节点交换(如果是非叶子节点，交换子树)，之后保证 父节点的值=两个子节点相加 。 
a值的减少c会使得自己的每个先辈节点减少c, b值增加c也会使自己每个先辈节点增加c。由于a在b的下层，导致a的先辈比b的先辈多，
每个先辈节点必定不是叶子节点，这就使得总价格降低，和原二叉树总价最低矛盾。


定理2：
每一颗二叉树，只要高层（靠近根）的每一个节点的值 大于 低层每一个节点的值，那么这些二叉树所代表的总价值相同。


证明：
原理同定理1，通过同一层的节点（或者子树）相互交换，构造出的任意一棵满足要求的二叉树，
由于先辈节点值增加，减少的值相互抵消，所以总价值不变。


由于哈弗曼树满足我们所需要的二叉树的性质（这也同时说明，满足总费用最少的二叉树不一定是哈夫曼树），所以这道题用哈夫曼树来解。 

int find_small(int arr[], int len, int &a, int &b){//a是最小的，b是第二小的a=b=99999;int a_index, b_index, i; a_index = b_index = 0;for(i=0; i<len; ++i){if(arr[i]!=-1&&arr[i]<a){b_index = a_index;a_index = i;b = a;a = arr[i];} else if(arr[i]!=-1&&arr[i]<b){b_index = i;b = arr[i];}}arr[a_index] = arr[b_index] = -1;return a_index;}; int main(){int n,cnt;int arr[100];cin>>n;for(int i=0; i<n; ++i){cin>>arr[i];}cnt = n;int w=0;if(cnt==1){w = arr[0];}while(cnt!=1){--cnt;int a,b,hole;hole = find_small(arr,n,a,b);w = w+a+b;arr[hole] = a+b;}cout<<w; }