URAL 1139. City Blocks （数论）

1139. City Blocks

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The blocks in the city of Fishburg are of square form.N avenues running south to north and M streets running east to west bound them. A helicopter took off in the most southwestern crossroads and flew along the straight line to the most northeastern crossroads. How many blocks did it fly above?

Note. A block is a square of minimum area (without its borders).

Input

The input contains N and M separated by one or more spaces.1 <N, M < 32000.

Output

The number of blocks the helicopter flew above.

Samples

inputoutput

4 3

4

3 3

2

Notes

The figures for samples:

Problem Source: Quarterfinal, Central region of Russia, Rybinsk, October 17-18 2001

解析：先令n = n - 1, m = m - 1：

考虑n或m只有1的情况，不妨设m = 1，那么图形就变成了一个n个小正方体拼在一起的长方体，显然答案为n，因为灰机穿过了n个街区，我们可以认为，每穿过一条竖线，就会多穿过一个街区（包括第一条竖线，不包括最后一条竖线）。

那么当n, m＞1的时候，也是每穿过一条竖线，多穿过一个街区，每穿过一条横线，多穿过一个街区。但是答案却不是n + m。

因为当灰机穿过一个整点（横纵坐标均为整数）的时候，同时穿过横线和竖线，多穿过的街区是一样的。

对于灰机的路线来讲，穿过的整点数为gcd(n, m)（不算最后一个）

第一个穿过的整点为（1,1），第二个为(n / gcd, m / gcd)，第三个为(n / gcd * 2, m / gcd * 2)……最后一个为(n / gcd * (gcd - 1), m / gcd * (gcd - 1))。一共gcd个。这里的gcd为gcd（n， m）。

于是，n + m减掉穿过整点的时候重复加上的街区，则答案为n + m - gcd(n, m)。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int main(){    int n, m;    while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF){        n --; m --;        printf("%d\n", n + m - __gcd(n, m));     //__gcd(n, m)是algorithm头文件里的库函数    }    return 0;}