约瑟夫环的数学推导、数学方法求最后出圈的数字、循环单链表求所有出圈数字顺序

约瑟夫环是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3…n分别表示）围坐在一张圆桌周围；从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。

前几天，在一篇文章中得知了约瑟夫环的问题。然后，就涉及了解决办法。这个问题，在许多计算机或者关于数据结构的书中都有提及，而其中的解决办法便是使用循环链表——无论这个循环链表是使用指针还是数组实现，模拟约瑟夫环的进行，最后得到解决方案。具体方法肯定早有某人披露。但是，令人深感奇妙的还是这个问题的数学解决。在不统计解决过程，即不统计每次都需要出列哪个序号时，就可以应用数学递推公式，直接得出最后剩下的那个人的序号。

先总结一下约瑟夫环的递推公式：

1. f[1]=0;　f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

公式得到的是以0～n-1标注的最终序号；下面我们就推导公式。

给出一个序列，从0～n-1编号。其中，k代表出列的序号的下一个，即k-1出列。

a 0, 1, …, k-1, k, k+1, …, n-1

那么，出列的序号是(m-1)%n，k=m%n。出列k-1后，序列变为

b 0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1

然后，我们继续从n-1后延长这个序列，可以得到

c` 0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2

我们取从k开始直到n+k-2这段序列。其实这段序列可以看作将序列b的0~k-2段移到了b序列的后面。这样，得到一个新的序列

c k, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2

好了，整个序列c都减除一个k，得到

d 0, 1, …, n-2

c序列中的n-1, n, n+1都减除个k是什么？这个不需要关心，反正c序列是连续的，我们知道了头和尾，就能知道d序列是什么样的。

这样你看，从序列a到序列d，就是一个n序列到n-1序列的变化，约瑟夫环可以通过递推来获得最终结果。ok，继续向下。

剩下的就是根据n-1序列递推到n序列。假设在n-1序列中，也就是序列d中，我们知道了最终剩下的一个序号是x，那么如果知道了x转换到序列a中的编号x`，不就是知道了最终的结果了么？

下面我们就开始推导出序列a中x的序号是什么。

d->c，这个变换很容易，就是x+k；

c->b，这个变换是网上大家都一带而过的，也是令我郁闷的一个关键点。从b->c，其实就是0~k-2这段序列转换为n~n+k-2这段序列，那么再翻转回去，简单的就是%n，即(x+k)%n。%n以后，k~n-1这段序列值不会发生变化，而n~n+k-2这段序列则变成了0～k-2；这两段序列合起来，就是序列b。

于是乎，我们就知道了，x`=(x+k)%n。并且，k=m%n，所以x`=(x+m%n)%n=(x+m)%n。公式1就出来了：f[i]=(f[i-1]+m)%i。当然，i=1就是特殊情况了，f[1]=0。这里还有一个小问题。也许你会迷惑为什么x`=(x+m%n)%n=(x+m)%n中的%n变成公式中f[i]=(f[i-1]+m)%i中的%i？其实这个稍微想想就能明了。我们%n就是为了从序列c转换到序列b——这是在n-1序列转换成n序列时%n；那么从n-2转换到n-1呢？不是要%(n-1)了吗？所以这个值是变量，不是常量。

好了，这个最后需要注意的就是从一开始，我们将n序列从0～n-1编号，所以依据公式得出的序号是基于0开始的。下面给出代码：

    #include<iostream>      #include<cstdio>      using namespace std;            int main()      {          int ncase, n, m, ans;          scanf("%d", &ncase);          while(ncase--)          {              scanf("%d%d", &n, &m);              ans = 0;              for(int i = 2; i <= n; ++i)              {                  ans = ( ans + m ) % i;              }              printf("%d\n", ans + 1); //易错点，编号从1开始，所以结果+1        }          return 0;      }  

循环单链表解法：

#include<stdio.h>   #include <stdlib.h>  typedef struct node//节点存放一个数据和指向下一个节点的指针  {      int data;      struct node* pnext;  } Node;  Node *link_create(int n)//创建n个节点的循环链表  {      //先创建第1个节点      Node *p,*q,*head;      int i ;      p = (Node *)malloc(sizeof(Node));      head = p;      p->data = 1;      for(i = 2;i<=n;i++)//再创建剩余节点      {          q = (Node *)malloc(sizeof(Node));          q->data = i;          p->pnext = q;          p = q;      }      p->pnext = head;//最后一个节点指向头部，形成循环链表      return head;  }  void link_process(Node *head,int k,int m)//从编号为k(1<=k<=n)的人开始报数，数到m的那个人出列；  {      int i;      Node *p = head,*tmp1;      while(p->data != k)//p指向的节点data为k     {        tmp1 = p;        p = p->pnext;      }    while(p->pnext != p)      {          for(i=1;i<m;i++)          {              tmp1 = p;              p = p->pnext;          }          printf("%d ",p->data);          tmp1->pnext= p->pnext;          free(p);          p = tmp1->pnext;      }      printf("%d ",p->data);      free(p);  }  int main()  {      Node *head = link_create(5);          link_process(head,3,1);      system("pause");      return 0;  }