[CF 294D]Shaass and Painter Robot解题报告

题意

有一个n*m的网格，有一个机器人初始在(x,y)，面朝某个斜45°的方向。机器人会一直走，遇到墙就按弹性碰撞规则（就像台球碰到桌子边缘一样）反弹。机器人每走一格，就会将其所在格子染黑。问机器人走几格之后会将整张网格染成黑白相间（或判断这种情况永远不会发生）。

分析

首先有一个结论：边缘上所有该染黑的格子都已染黑，当且仅当整张网格已按要求染成黑白相间。

证法是归纳。假设第一行该染黑的格子都已染黑，那就会发现第二行该染黑的格子都已染黑。因为第一行某个染黑格必定一进一出，即其左下和右下的两格都染黑了。当然也要考虑角上的情况，还有第一行该染黑的最后一个格子只进不出的情况（这时由于它两旁相间的格子都已染黑，所以左下和右下的两格必定也染黑）。故用数学归纳法可证。

那么问题就很简单了：开一个map，储存所有已访问过的边缘格子。然后模拟机器人的行走。将机器人的速度分解成水平和竖直两个分量，这个想法是很优美的。

对n,m的奇偶性讨论之后会发现，边缘上该染黑的格子永远有n+m-2个。

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#include<cmath>#include<map>using namespace std;typedef long long LL;const int INF=0x7fffffff/2;map<int,int> A[100010];int n,m,now,dx,dy,x,y;char ch[10];void work(void){scanf("%d%d",&n,&m);scanf("%d%d",&x,&y);scanf("%s",ch+1);if(ch[1]=='U') dx=-1;else dx=1;if(ch[2]=='L') dy=-1;else dy=1;int rem=n+m-2;if(x==1||x==n||y==1||y==m){A[x][y]=1;rem--;}int timer=0;LL ans=1;while(true){timer++;if(timer>=500000){cout<<-1<<endl;return;}int dis=INF;if(dx==1) dis=min(dis,n-x);else dis=min(dis,x-1);if(dy==1) dis=min(dis,m-y);else dis=min(dis,y-1);x+=dx*dis,y+=dy*dis;ans+=dis;if(x==1) dx=1;else if(x==n) dx=-1;if(y==1) dy=1;else if(y==m) dy=-1;if(A[x][y]==0){rem--;A[x][y]=1;}if(!rem){cout<<ans<<endl;return;}}}int main(){work();return 0;}