关于PCA算法的一点学习总结

本文出处：http://blog.csdn.net/xizhibei
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PCA，也就是PrincipalComponents Analysis，主成份分析，是个很优秀的算法，按照书上的说法：
寻找最小均方意义下，最能代表原始数据的投影方法
然后自己的说法就是：主要用于特征的降维
另外，这个算法也有一个经典的应用：人脸识别。这里稍微扯一下，无非是把处理好的人脸图片的每一行凑一起作为特征向量，然后用PAC算法降维搞定之。


PCA的主要思想是寻找到数据的主轴方向，由主轴构成一个新的坐标系，这里的维数可以比原维数低，然后数据由原坐标系向新的坐标系投影，这个投影的过程就可以是降维的过程。


推导过程神马的就不扯了，推荐一个课件：http://www.cs.otago.ac.nz/cosc453/student_tutorials/principal_components.pdf，讲得挺详细的


然后说下算法的步骤
1.计算所有样本的均值m和散布矩阵S，所谓散布矩阵同协方差矩阵；
2.计算S的特征值，然后由大到小排序；
3.选择前n'个特征值对应的特征矢量作成一个变换矩阵E=[e1, e2, …, en’]；
4.最后，对于之前每一个n维的特征矢量x可以转换为n’维的新特征矢量y：
  y = transpose(E)(x-m)


最后还得亲自做下才能记得住：用Python的numpy做的，用C做的话那就是没事找事，太费事了，因为对numpy不熟，下面可能有错误，望各位大大指正
[python] view plaincopyprint?
mat = np.load("data.npy")#每一行一个类别数字标记与一个特征向量  
data = np.matrix(mat[:,1:])  
avg = np.average(data,0)  
means = data - avg  
  
tmp = np.transpose(means) * means / N #N为特征数量  
D,V = np.linalg.eig(tmp)#DV分别对应特征值与特征向量组成的向量，需要注意下的是，结果是自动排好序的，再次膜拜numpy  OTL  
#print V  
#print D  
E = V[0:100,:]#这里只是简单取前100维数据，实际情况可以考虑取前80%之类的  
y = np.matrix(E) * np.transpose(means)#得到降维后的特征向量  
  
np.save("final",y)  




另外，需要提一下的是OpenCV（无所不能的OpenCV啊OTL）中有PCA的实现：
[cpp] view plaincopyprint?
void cvCalcPCA( const CvArr* data,//输入数据   
                CvArr* avg, //平均（输出）  
                CvArr* eigenvalues, //特征值（输出）  
                CvArr* eigenvectors, //特征向量（输出）  
                int flags );//输入数据中的特征向量是怎么放的，比如CV_PCA_DATA_AS_ROW  




最后，说下PCA的缺点：PCA将所有的样本（特征向量集合）作为一个整体对待，去寻找一个均方误差最小意义下的最优线性映射投影，而忽略了类别属性，而它所忽略的投影方向有可能刚好包含了重要的可分性信息


嗯，最后的最后——好了，没了，的确是最后了
强烈推荐：一篇能把PAC说得很透彻的文章《特征向量物理意义》：http://blog.sina.com.cn/s/blog_49a1f42e0100fvdu.html