博弈论（威佐夫博奕、尼姆博弈、巴什博弈）

//威佐夫博奕、尼姆博弈、巴什博弈。
⑴HDU-1846（中文）Brave Game
有一堆石子一共有n个；两人轮流进行；每走一步可以取走1…m个石子；最先取光石子的一方为胜；

C(C<=100) ;n和m（1<=n,m<=1000）

问题类型：巴什博弈
只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取1个，最多取m个，最后取光者得胜。
显然，如果n = m + 1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：
如果 n = (m + 1) * r + s ，(r为任意自然数，s≤m)，即n%(m+1) != 0，则先取者肯定获胜。
巴什博弈还是很好理解的，以你是先手的角度考虑。你想把对手给弄垮，那么每一局，你都必须构建一个局势，这个局势就是每次都留给对手m+1的倍数个物品。因为，如果n=(m+1)r + s，(r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k(≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下(m+1)(r-1)个,以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下(m+1)的倍数，就能最后获胜。

//SG（x）=x%（m+1).判断初始状态SG值是否为0，是则为P-position，先手必败。

⑵POJ-2234 Matches Game
有n堆石子，每人每次可以从一堆中拿走任意多个，两人轮流操作，谁无子可取谁输。输入n堆石子各自的数量，输出先手是否能赢。

n<=20;a[i]<= 10,000,000;

问题类型：尼姆博奕
NP问题，必胜态N（next player wins）,必败态P(previous player wins)
如果某状态的直接后继中有必败态那么它一定是必胜态，否则为必败态。
SG函数。设函数sg(x)。我们先把所有的最终局面（最终局面均为必败P局面）sg(x)赋值为0。然后所有其他局面sg(x)等于其直接后继状态中没有出现过的最小自然数。这样一来所有是sg(x)＝0的状态就是必败态，其他为必胜态。
根据定理：有这样一个游戏，是多个游戏共同进行，每个游戏都执行到底时才算整个游戏结束，每次一个选手可以把一个游戏进行一步。对于这样的游戏它的某状态的sg(x)值，为每个子游戏的现在所处的状态的sg(x)值抑或起来的结果。
所以对于本题，我们只需要研究一堆石子的sg(x)的规律即可得出若干堆石子共同进行的胜败。
对于一个有n个石子的堆，其开始状态（有n个石子，没有被取过）g(x)=n;

把每堆数量求异或a1^a2^…^ai’^…^an，结果为零则先手必输，否则必赢

⑶POJ-1067取石子（中文）
有两堆石子，给定两堆石子的数量，可以进行如下两种操作：
1、从某一堆中拿走一定数量的石子
2、从两堆石子中拿走相同数量的石子
两个人轮流拿，假设都按照最优策略来操作，谁输呢？

多组n<= 1,000,000,000;

问题类型：威佐夫博弈
分析：当某一个人面对（0,0）的局势时，必败，我们把面临该局势必败的局势称为必败局势。易知上一个必败局势为（1，2），因为不管面临该局势的人采用何种操作，下一个人都可以使之面临（0，0）的趋势，则接下去的必败局势分别为（3，5），（4，7），（5，9）……
设第k＋1个必败局势为(ak,bk)，ak<＝bk，有如下性质：
ak=(sqrt(5)+1)*k/2;bk=ak+k;
我们称不满足该条件的局势称为必胜局势，因为总可以进行一次操作使得下一个人面临必败局势。
下面我们要做的工作就是判断该局势(a,b)是不是必败局势。
我们首先要估算k；假设k是必败局势，k＝(sqrt(5)-1)*a/2;
对k取整，如果a=(sqrt(5)+1)*k/2不成立，我们可以对k进行修正:k++;

此时， 若b=a+k则该局势为必败局势。

⑷POJ-2484 A Funny Game

摆一圈硬币，两人轮流取，每次取一个或者位置相邻的两个（最开始就要相邻，因为中间硬币被取走而相邻的不算）。谁无币可取谁输。问谁赢。

对于许多硬币的情况，先手必然把这堆硬币由一个环拆开一个缺口变为了一条线，后手的任务是将一条线拆成一样长得两条线（必定能实现），然后跟着先手在两条线之间做对称的动作即可。

⑸POJ-2975 Nim
有 N 堆石子，两人轮流从任一堆中取任意个石子（至少一个），最后一个取石子的人为胜利者。题目有讲解如何判断当前形势是否为必胜态:
把每堆石子数目化为二进制，然后进行按位异或，若最后的结果为 0，则为必败态。

最后是求有多少种赢法。

首先求各堆石子数异或后的结果 t 。若 t = 0，则为必败态。否则，我们可以使它变成必败态然后让对手决策。由于双方都是最优决策，所以第一步决定后，以后的决策也就定了。所以又多少种赢法取决于第一步可以创造出多少种必败态。

设第 i 堆石子的数目为 a[i]，若 t XOR a[i] < a[i] ，则我们可以在该堆石子中取 t XOR a[i] 颗石子，使局面变成必败态。因此，我们要做的，就是统计有多少堆石子的数目大于 t XOR a[i] 。

⑹POJ-2068 Nim

给你2n个人，两方各n个人，交叉坐，每个人可以取的石子有一个最大限制，总共有S颗石子，哪一方取了最后一颗石子就输了，问先取石子的这一方是否有必胜策略。

博弈DP

⑺POJ-2348 Euclid’s Game

给两堆石子（题目中是数，配合一下上文这里说石子），两人依次取石子，规则是：每次从石子数较多的那堆取（两堆石子数目相等时任选一堆），取的数目只能为石子少的那一堆的正整数倍。最后取完一堆石子者胜。问给定情况下先手胜负情况。

现有状态(x,y) (设x>0且y>0,其它情况自行考虑),

当x=y时，显然先手胜,不妨设x

堆石子，两人轮流操作，每次操作只能选定其中一堆，并取走若干个（>=1个）。谁取走最后一个谁输。给定一个状态，问先取的赢还是后取的赢。

问题类型：尼姆博奕
所以想到sg函数，nim的sg是把格堆石子数抑或起来，看是否为0。本题我们就自己写出一些能解决的状态（可以手动判断np状态），观察各堆总数抑或结果和必胜必败态的联系。发现一个规律，sg函数为0则必胜，否则必败。只有一种特殊情况不符合该规律，就是所有堆都为1。
在网上看到了一篇证明，在此复制过来，简单加工一下。
不管全0的最后必胜态（好像没影响）
于是规定的必胜态为：
1.所有的都是1，异或结果为0（1状态）
2.有大于1的，异或结果不为0（2状态）
必败态为：
1.所有的都是1，异或结果不为0（3状态）
2.有大于1的，异或结果为0（4状态）
根据定义，证明一种判断position的性质的方法的正确性，只需证明三个命题：
1、这个判断将所有terminal position判为P-position；
2、根据这个判断被判为N-position的局面一定可以移动到某个P-position；
3、根据这个判断被判为P-position的局面无法移动到某个P-position。 （有点归纳的意思）
最终必败态为只有1个，就是只有1个石子，符合。
对状态1和3，显然成立
状态之间的主要转化在于: 1状态和3状态相互转化。 2状态和4状态相互转化。
对于2状态：
假设异或结果为x。
当x=1时，肯定是最低位为1的堆有奇数个，只要在这些最低位为1的堆中选择一个取走1个石子，就可将最低位为1的堆数变为偶数，抑或结果变为0。其中一个最低位1的操作，并不会让任何一个大于1的堆消失。因此不会导致状态1。抑或结果为0，不会导致状态3，而会变为状态4。
当x>1时：
{
x与一个在x最高位是1且其余位均为0的数（设导致最高位为1的堆为a）异或后结果设为y，即y是将x的最高位由1改为0后得到的数字。
y=0时
{
其它的堆全为1个石子时，将a堆减为1，满足3状态。
如果其它堆中有大于石子数1的，将a堆取走若干，使得的a堆最高位变为0其他位不变，就满足4状态了。
}
y=1时
{
其它的堆全为1个石子时，将a堆取走若干，使得的a堆最高位变为0其他位不变，满足3状态。
如果其它堆中有石子数大于1的，将a堆取走若干，使得的a堆最高位变为0并使得最低位为1，其他位不变，就满足4状态了
}
y>1时，就将a堆的最高位减少使得其余位恰好与y相同（这是可以做到的，因为a堆最高位为1的数，大于y），使得抑或结果为0，满足4状态。
}
对于4状态，它不能变为另一个异或结果为0的（不能变为4状态）。而且异或结果为0就不可能只有一个大于1的堆，所以也不能变为3状态.所以只能变为必胜态。
所以它也满足。
综上，所以这个条件是符合的