回溯算法

引自：http://www.cnblogs.com/steven_oyj/archive/2010/05/22/1741376.html

作者写的通俗易懂，学习。

1、概念

      回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

   回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

     许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

2、基本思想

   在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

       若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

       而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

       八皇后问题就是回溯算法的典型，第一步按照顺序放一个皇后，然后第二步符合要求放第2个皇后，如果没有位置符合要求，那么就要改变第一个皇后的位置，重新放第2个皇后的位置，直到找到符合条件的位置就可以了。回溯在迷宫搜索中使用很常见，就是这条路走不通，然后返回前一个路口，继续下一条路。回溯算法说白了就是穷举法。不过回溯算法使用剪枝函数，剪去一些不可能到达 最终状态（即答案状态）的节点，从而减少状态空间树节点的生成。回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。

3、用回溯法解题的一般步骤：

    （1）针对所给问题，确定问题的解空间：

            首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。

    （2）确定结点的扩展搜索规则，使得能用回溯法方便地搜索整个解空间。

    （3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

问题的解空间通常是在搜索问题解的过程中动态产生的，这是回溯算法的一个重要特性。

4、算法框架

     （1）问题框架

      设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。

     （2）非递归回溯框架

int a[n],i;初始化数组a[];i = 1;while (i>0(有路可走)   and  (未达到目标))  // 还未回溯到头{     if(i > n)                                              // 搜索到叶结点     {              搜索到一个解，输出；     }     else                                                   // 处理第i个元素     {            a[i]第一个可能的值；           while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)           {               a[i]下一个可能的值；           }           if(a[i]在搜索空间内)          {               标识占用的资源；               i = i+1;                              // 扩展下一个结点          }          else          {               清理所占的状态空间；            // 回溯               i = i –1;           } }

3）递归的算法框架

         回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单，其中i为搜索的深度，框架如下：

 int a[n]; try(int i) {     if(i>n)        输出结果;      else     {        for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1)  // 枚举i所有可能的路径        {            if(fun(j))                 // 满足限界函数和约束条件              {                a[i] = j;               ...                         // 其他操作                 try(i+1);               回溯前的清理工作（如a[i]置空值等）;              }          }      } }