动态规划算法，背包问题

来源：互联网发布：mac版的visual studio 编辑：程序博客网时间：2024/05/21 06:32

什么是动态规划算法？

从终点向始点求最大（小）值

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例子分析：

1、完全背包问题

2、0-1背包问题

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完全背包问题：

有一个徒步旅行者，其可携带物品重量的限度为a 公斤，设有n 种物品可供他选择装入包中。已知每种物品的重量及使用价值（作用），问此人应如何选择携带的物品（各几件），使所起作用（使用价值）最大？

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当 k=1 时， f1(y) =c1x1 （因为只装1种物品）

当1＜k≤n 时，其递推关系如下：

设：akxk为装有第k件物品的重量（其中 0≤akxk≤ y ），此时还剩y －akxk（公斤）空间，需要装前k－1 种物品,如果采取最优策略，则得到的最大价值为fk－1(y － akxk) ,因此总的价值为：

ckxk ＋fk－1(y － akxk)

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贴源码前再回顾下公式：

贴源码（递归方式）：

// 动态价值表，每一项对应包当前所能装入的最优值VT[n+1][a+1] = {0};// a[k] 指第k件物品的重量// c[k]<span style="white-space:pre"></span>指第k件物品的价值int RecursionBag(int k, int y)<span style="white-space:pre"></span>//<span style="white-space:pre"></span>资源数，包容量{<span style="white-space:pre"></span>if(k == 0 || y == 0)<span style="white-space:pre"></span>return 0;<span style="white-space:pre"></span>if(k == 1)<span style="white-space:pre"></span>return c[1]*(y/a[1]);<span style="white-space:pre"></span>if(VT[k][y] != 0)<span style="white-space:pre"></span>return VT[k][y];<span style="white-space:pre"></span>if(y >= a[k])<span style="white-space:pre"></span>{<span style="white-space:pre"></span>VT[k][y] = max(c[k]*x[k] + RecursionBag(k-1, y-a[k]*x[k])); // 0 <= x[k] <= y/a[k],此处伪代码<span style="white-space:pre"></span>}<span style="white-space:pre"></span>else<span style="white-space:pre"></span>{<span style="white-space:pre"></span>VT[k][y] = RecursionBag(k-1, y);<span style="white-space:pre"></span>}<span style="white-space:pre"></span>return VT[k][y];}

0-1背包问题：

0-1背包是完全背包的一种特殊形式，完全背包没件物品数量可以取

0,1,2,3...n,而0-1背包物品数量只能去0,1。

所以，0-1背包问题照样用完全背包方式求解，只是在

VT[k][y] = max(c[k]*x[k] + RecursionBag(k-1, y-a[k]*x[k]));

这一步

// 0 <= x[k] <= y/a[k]

改为

// 0 <= x[k] <= 1

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