神奇的位运算(bitwise trick)

   在计算机中，数据都以二进制补码的形式存储，根据这一特点，适当采用位运算(bitwise operation)可以很巧妙地解决问题，同时运算效率更高。时刻牢记，最大的负数是-1，在计算机中，它的存储形式是全1。

位运算符

• 左移<< 和 右移>>

   左移相当于乘以2，友谊相当于除以2.在计算机中，位运算比乘法、除法运算要快得多，所以适当采用移位运算取代乘除运算，能够提高运算效率。右移时要注意符号位的扩展。

• 按位与&

   &运算的特点是可以将某些位置为0。
   &运算也可用于提取某些特定的位。做法是定义一个mask，mask中对应要提取的位置为1，而其它位为0，将整数与mask做&运算，就可以提取出整数中相应的位。

• 按位或|

   |运算的特点是，可以将指定的位元置为1。

• 按位异或^

   以下运算的规律在解决问题时可能是会经常用到的。
   x^x=0
  bit^1=~bit x^(-1)=~x
  bit^0=bit x^0=x

• 按位取反~

   ~运算的特点是将0和1点到。以下规律值得牢记，此规律对正整数或负整数都成立。
   -x=~x+1

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一些小技巧

   位运算结合在一起，恶意巧妙地解决很多问题，下面就是一些bitwise trick。

• 交换两个int

void swap(int &x, int &y){    x = x^y;    y = x^y;    //(x^y)^y = x^(y^y) = x^0 = x;    x = x^y;    //(x^y)^x = (x^x)^y = 0^y = y;}

   最早以前，我所知道的交换方法是下面这样的

void swap(int &x,int &y){    x = x+y;    y = x-y;    x = x-y;}

   这样在大多数情况下也是可以的，但是不及位运算。首先，撇开运算速度不说，通过加减交换最大的隐患在于，如果x和y的值都很大，那么在计算x+y的时候，可能发生溢出，这在位运算中是绝对不会出现的。

• 判断一个数是不是2的幂

void PowerOf2(int x){    if (x == 0)        return false;    return x&(x-1) == 0;}

   x&(x-1)的作用是，使得x最右边的1变为0，x是2的幂，意味着x中只有一个1，所以经过这一运算后，x&(x-1)等于0。

   还有一个特点需要注意的是，如果x是2的幂，那么x-1的形式是，左边全为0，右边全为1。

   另一个解为return x&(-x) ==x;，但是具体怎么解，我还不明所以。

   x&(x-1)的作用不容小觑，我们可以用它来计算整数中1的个数，并借此来对整数做奇偶校验。

• 计算整数中1的个数

int CountOf1(int x){    int count=0;    while(x)    {        count ++;        x = x&(x-1);    //将x最低位的1置为0    }    return count;}

• 计算m和n中不同的位的个数

int diffmn(int m,int n){    int count=0;    int x = m^n;    //x中为1的位元代表了m和n中不同的位    while(x)    {        count ++;        x = x&(x-1);    }    return count;}

• 整数加1和整数减1

int plus1(int x){    return -~x;    //x+1 = ~(~x)+1 = -(~x)}

int minus1(int x){    return ~-x;    //x = -(-x) = ~(-x)+1}

   注意：通过上述方法计算整数的加1或减1，比直接计算是要慢的。不过，这两个例子充分说明了位运算可以做的事情是很多的。

   老实说，这两个结果应该不是那么容易记清的吧，起码对我来说是这样的，牢记-x=~x+1，并记住大概的形式，应该就能够通过简单的变换很快得出正确的结果的吧。

• 整数反号

void revsign(int x){    return ~x+1;    //-x = ~x+1}

或

void revsign(int x){    return (x^(-1))+1;    //(x^(-1))+1 = ~x+1 = -x}

   显然，第二种方法是不如第一种方法的，还是那句话，通过推导，好好体会一下位运算的神奇效果吧。

• 判断一个数是否是奇数

bool isodd(int x){    return x&1}

   偶数的判断当然也很简单了！

• 计算32位整数的绝对值

int abs(int x){    return (x&(x>>31))-(x>>31);}

   首先需要注意的是右移时会扩展符号位。如果x是正数，那么x>>31=0，毫无疑问，return语句中的表达式结果就是x；如果x是负数，那么x>>31的结果就是全1，也就是我们必须牢记的-1，于是

 (x^(x>>31)) - (x>>31)=(x^(-1)) - (-1)=~x + 1=-x

   所以，(x^(x>>31))-(x>>31)就是我们要求的x的绝对值。

• 求a和b的最大值

int max(int a,int b){    int maxab = b&((a-b)>>31) | a&(~(a-b)>>31);    return maxab;}

   对于unsigned int，右移31位是一个很特别的操作，其作用是将所有的位都置为符号位的值，也就是说，正数移位后变为0，负数移位后变为-1。所以，如果a<b，那么(a-b)>>31结果就是-1，而~(a-b)>>31结果就是0，最终maxab = b；反过来，如果a>b，那么(a-b)>>31结果是0，而~(a-b)>>31结果是-1，最终maxab = a。

   需要注意的是，此处假定在32位机器上进行操作，因此移位的位数是31，为了保证表达式的通用性，可以通过sizeof(int)*8 - 1来确定移位的位数。

   下面是另外一种解法，成立的条件是true=1,false=0。

int max(int a,int b){    int maxab = a^((a^b)&(-(a<b)));    return maxab;}

   如果a<b，那么-(a<b)就是-1，于是maxab = a^(a^b) = b；如果a>b，那么-(a<b)就是0，于是maxab = a。

   可以看到，两种解法的核心都是将a、b的关系通过-1或0来间接表示，并利用表示结果作进一步的运算。

• 求a和b的最小值

int min(int a,int b){    int minab = a&((a-b)>>31) |b&(~(a-b)>>31);    return minab;}

   同样的，只要满足true=1,false=0，也同样可以采用第二种方法来求最小值。

int min(int a){    int minab = b^((a^b)&(-(a<b)));    return minab;}

   推导过程与注意事项同求最大值的解法是基本相同的，在此不做赘述。

• 计算两个数的平均值

int mean(int x,int y){    return (x&y)+((x^y)>>1);}

   我们知道，计算两个数的平均值，最直接的想法就是(x+y)/2，表达式就是通过位运算实现了这一想法。表达式的核心思想是，将x+y分解成两部分，一部分是x和y相同的位，一部分是x和y不同的位，前者通过&运算完成相加(由于没有进位，所以无需除以2)，后者通过^运算完成相加，然后除以2得出平均值，最后，将两部分相加，就是所求的结果了。

   同样的，通过位运算，可以成功规避相加溢出的问题。

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   在此，我们瞥见了位运算的一抹影子，你当然可以在其他很多地方领略到更多神奇之处，比如在演算法笔记中。