单链表环的位置判定及循环次数

  代码是极易找到的。这里所分析的也是异步指针。

  

环的入口点的相关证明

 

   

设慢指针为p1、快指针为p2,初始时分别指向第一个元素（以下用坐标表示，则此时为p1=p2=1）。如上图，m, n分别代表无环部分、环中元素的个数且已知。

首先可以判断第一次相遇时（即判断相遇代码部分），慢指针p1未遍历链表所有元素进入循环（p1<=m+n）。因为当 p1=m+1时（即环的入口点），p2距p1  t<=n-1(注意图中距离为p2->p1粗线条部分，而非p2-p1) ,两者的步速相差1，故只需p2还需走t 步追上p1,p1到末端还有（n-1）个元素，故可以证明第一次相遇时p1<=m+n。

第一次相遇前，慢指针p1走到入口点，即走了m 步，p2走了 2m 步，m 用在环中，设循环了Q次，（nQ<m<(Q+1)n）,此时p2距离是环的第 m-nQ 个元素，p2距p1

n-(m-nQ)个元素，故相遇时p2走了 2m+n-(m-nQ)步，p1走了m+n-(m-nQ)步。设相遇时p2共循环了N次，则 Nn+m<2m+n-(m-nQ)<(N+1)n+m;

   让后两指针同步为逐原素遍历，其一指向第一个元素，不妨设为快指针。当这个快指针元素第一次指向环入口时，即经过 m步，此时 慢指针也走了m 步，慢指针共走了m+n-(m-nQ)+m=m+n+nQ步,即为入口点。也就是说，慢指针共走了Q次环，快指针第一次相遇时也走了Q次环，其中 Q<m/n< Q+1。