数学之杨辉三角

概述
前提：端点的数为1.
每个数等于它上方两数之和。
每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
第n行的数字有n项。
第n行数字和为2n-1。
第n行的m个数可表示为 C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。
每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。
(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
将各行数字相排列，可得11的n-1（n为行数）次方：1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……当n≥5时会不符合这一条性质，此时应把第n行的最右面的数字”1”放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位… …，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例，第十一行的数为：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1，结果为 25937424601=1110。

在编程中实现

杨辉三角在编程实现中较为容易。最常见的算法便是用上一行递推计算；也有运用和组合的对应关系而使用阶乘计算的，然而后者速度较慢且阶乘容易溢出。

/*使用二维数组打印一个 10 行杨辉三角.11 11 2 11 3 3  11 4 6  4  11 5 10 10 5 1 ....【提示】 1. 第一行有 1 个元素, 第 n 行有 n 个元素 2. 每一行的第一个元素和最后一个元素都是 1 3. 从第三行开始, 对于非第一个元素和最后一个元素的元素.      yanghui[i][j] = yanghui[i-1][j-1] + yanghui[i-1][j];*/class TestYangHui{    public static void main(String[] vags){//声明二维数组    int[][] yanghui = new int[10][];//初始化数组    for (int i=0;i<yanghui.length ;i ++ ){        yanghui[i] = new int[i+1];    }//二维数组的赋值    for (int i=0;i<yanghui.length ;i++ ){        for (int j=0;j<yanghui[i].length ;j++ ){           yanghui[i][0] = yanghui[i][i] =1;            if (i>1 && j>0 && i>j){           yanghui[i][j] = yanghui[i-1][j-1] + yanghui[i-1][j];            }        }    }//数组的遍历    for (int i=0;i<yanghui.length ;i++ ){        for (int j=0;j<yanghui[i].length ;j++ ){            System.out.print(yanghui[i][j] + "  ");        }            System.out.println();    }    }}