算法---K个最小和(讲解的思路不清晰)

来源：互联网发布：阿里云docker镜像仓库编辑：程序博客网时间：2024/05/02 04:17

K个最小和 (UVA 11997 K Smallest Sums)

题目大意：

You're given k arrays, each array has k integers. There are kk ways to pick exactly one element in each array and calculate the sum of the integers. Your task is to find the k smallest sums among them.

Input

There will be several test cases. The first line of each case contains an integer k (2<=k<=750). Each of the following k lines contains k positive integers in each array. Each of these integers does not exceed 1,000,000. The input is terminated by end-of-file (EOF). The size of input file does not exceed 5MB.

Output

For each test case, print the k smallest sums, in ascending order.

Sample Input

3 1 8 5 9 2 5 10 7 6 2 1 1 1 2

Output for the Sample Input

9 10 12 2 2

给定一个k*k的一个矩阵，如果让你在每一行取出一个数，再将每一行取出的数相加，那么总共可以得到k^k种相加方法，现在让你求出这k^k个结果中最小的k个结果。

分析与解法

仔细分析这个题目我们会发现其实这个问题是满足最优子结构的，比如：

如果我们已经计算出了前m行，每行取出一个数相加的最小的k个结果，分别是DP[1],DP[2]...DPk

假设第m+1行的值是A[1],A[2]...Ak 当我们推倒到第m+1行时，由于我们只计算了前m行的前k个最小值，那我们是不是有必要多计算一些来推导出第m+1行的前k个最小值呢？

答案是不必要的，我们可以通过以下数学公式严格证明：设DP[x]是前m行通过计算得出的第x(x>k)小的和，如果上述的假设成立，那么我们可以列出不等式：

DP[x] + A[y] < DP[m] + A[n] (1)(DP[m]+A[n]表示只通过DP[1,2...k]计算出的前m+1行第k小的和)

上述不等式的含义是指在第m+1行存在一个数A[y],使得DP[x]+A[y]是前m+1行中前k小的结果。同时，我们注意到:

x>k ==> DP[x] > DP[k]  (2)A[y] >= A[1]           (3)

由上面三个不等式(1),(2),(3)我们可以得到：

DP[k]+A[1] <= DP[x]+A[y] < DP[m]+A[n]DP[k]+A[1] < DP[m]+A[n]

之前我们说过DP[m] + A[n] 是前m行第k大的和，然而：比DP[k]+A[1]小的数已经有

（DP[1]+A[1]）,(DP[2]+A[1])...(DP[k-1]+A[1])共计k-1个，

所以DP[k]+A[1]是第k个最小的和，与假设的DP[m]+A[n]是第k个最小的和相矛盾，所以假设不成立。得证。

通过以上的证明我们可以得出结论要计算第m+1行的前k个最小和是只需要计算出前m行的前k个最小的和即可。这时，我们的目标就转化为了计算一个2*k的数组，在第一行取一个数，在第二行取一个数，得到k^2个和，求他们当中的最小的k个和。

为了计算它，我们把这n^2个数组织成如下n个有序表：

表1： A1+B1 <= A1+B2<=A1+B3<=......表2： A2+B1 <= A2+B2<=A2+B3<=.......表n： An+B1 <= An+B2<=An+B3<=......

这时我们用一个二元组（sum， b）来保存以上的每一个元素，其中sum=A[a] + B[b].

为什么不保存A的下标a呢？因为我们用不到a的值。如果我们需要在表(sum, b)中赵到下一个元素(sum', b+1)，只要计算sum' = s - B[b] + B[b+1],不需要知道a是多少。

实现代码

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <queue>using namespace std;int  a[800][800],k;struct node{    int s,b;    bool operator<(const node &a) const    {        return s>a.s;    }};void merge(int *A,int *B,int *C,int n){    node tmp;    priority_queue<node> q;    for(int i=0;i<n;i++)    {        tmp.s=A[i]+B[0],tmp.b=0;        q.push(tmp);    }    for(int i=0;i<n;i++)    {        tmp=q.top();        q.pop();        C[i]=tmp.s;        if(tmp.b+1<n)        {            tmp.s=tmp.s-B[tmp.b]+B[tmp.b+1];            tmp.b++;            q.push(tmp);        }    }}int main(){    while(~scanf("%d",&k))    {        for(int i=0;i<k;i++)        {            for(int j=0;j<k;j++)                scanf("%d",&a[i][j]);            sort(a[i],a[i]+k);        }        for(int i=1;i<k;i++)            merge(a[0],a[i],a[0],k);        for(int i=0;i<k;i++)            printf("%d%s",a[0][i],i!=k-1?" ":"\n");    }    return 0;}

参考 http://www.cnblogs.com/gj-Acit/p/3583480.html

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