求10000以内质数（以前都是直接打表，现在问到怎么求，瞬间词穷了，还是应该搞懂）

对于求10000以内质数，首先先考虑这个确定性范围的问题，后面再考虑复杂的。

前言摘抄：素数是除了1和它本身之外再不能被其他数整除的自然数。由于找不到一个通项公式来表示所有的素数，所以对于数学家来说， 素数一直是一个未解之谜。像著名的 哥德巴赫猜想、孪生素数猜想，几百年来不知吸引了世界上多少优秀的数学家。尽管他们苦心钻研，呕心沥血，但至今仍然未见分晓。
自从有了计算机之后，人们借助于计算机的威力，已经找到了2²¹⁶⁰⁹¹以内的所有素数。
求素数的方法有很多种，最简单的方法是根据素数的定义来求。对于一个自然数N，用大于1小于N的各个自然数都去除一下N，如果都除不尽，则N为素数，否则N为合数。
但是，如果用素数定义的方法来编制计算机程序，它的效率一定是非常低的，因为其中很多次有重复判定，而且某些值可以跳过，其中有许多地方都值得改进。
第一，对于一个自然数N，只要能被一个非1非自身的数整除，它就肯定不是素数，所以不
必再用其他的数去除。
第二，对于N来说，只需用小于N的素数去除就可以了。例如，如果N能被15整除，实际
上就能被3和5整除，如果N不能被3和5整除，那么N也决不会被15整除。
第三，对于N来说，不必用从2到N一1的所有素数去除，只需用小于等于√N(根号N)的所有素数去除就可以了。这一点可以用反证法来证明：
如果N是合数，则一定存在大于1小于N的整数d1和d2，使得N=d1×d2。
如果d1和d2均大于√N，则有：N＝d1×d2>√N×√N＝N。
而这是不可能的，所以，d1和d2中必有一个小于或等于√N。
基于上述分析，设计算法如下：
(1)用2，3，5，7逐个试除N的方法求出100以内的所有素数。(复杂度降低的n多。。。)
(2)用100以内的所有素数逐个试除的方法求出10000以内的素数。
首先，将2，3，5，7分别存放在a[1]、a[2]、a[3]、a[4]中，以后每求出一个素数，只要不大于100，就依次存放在A数组中的一个单元 中。可以求出100以内有25个质数；当我们求100—10000之间的素数时，可依次用a[1]－a[25]的素数去试除N，这个范围内的素数可以不保存，直接打印。

代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <iomanip>using namespace std;int a[30]; // 用于存放100以内的质数int j = 5;int line = 0;// 先求出100以内的质数，输出并存储。void solve100(){for (int i = 11; i < 100; i++) {if (i % a[2] && i % a[3] && i % a[4] && i % a[5]) {a[++j] = i;if (line % 10 == 0) {cout << endl;}cout << setw(5) << i;line++;}}}// 判断并输出100~10000的质数void solve10000(){for (int i = 101; i < 10000; i++) {bool flag = true;for (int k = 2; k <= j; k++) {if (i % a[k] == 0) {flag = false;break;}}if (flag) {if (line % 10 == 0) {cout << endl;}cout << setw(5) << i;line++;}}}int main(){// 先直接输出10以内的质数a[0] = 0;a[1] = 1, a[2] = 2, a[3] = 3, a[4] = 5, a[5] = 7;cout << setw(5) << a[2];cout << setw(5) << a[3];cout << setw(5) << a[4];cout << setw(5) << a[5];line = 4;solve100();solve10000();cout << "\n10000以内质数个数为: " << line<< endl;return 0;}/* 输出2    3    5    7   11   13   17   19   23   2931   37   41   43   47   53   59   61   67   7173   79   83   89   97  101  103  107  109  113127  131  137  139  149  151  157  163  167  173179  181  191  193  197  199  211  223  227  229233  239  241  251  257  263  269  271  277  281283  293  307  311  313  317  331  337  347  349353  359  367  373  379  383  389  397  401  409419  421  431  433  439  443  449  457  461  463467  479  487  491  499  503  509  521  523  541547  557  563  569  571  577  587  593  599  601607  613  617  619  631  641  643  647  653  659661  673  677  683  691  701  709  719  727  733739  743  751  757  761  769  773  787  797  809811  821  823  827  829  839  853  857  859  863877  881  883  887  907  911  919  929  937  941947  953  967  971  977  983  991  997 1009 10131019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 10691087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 11511153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 12231229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 12911297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 13731381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 14511453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 15111523 1531 1543 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3167 3169 31813187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 32573259 3271 3299 3301 3307 3313 3319 3323 3329 33313343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 34133433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 35113517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 35713581 3583 3593 3607 3613 3617 3623 3631 3637 36433659 3671 3673 3677 3691 3697 3701 3709 3719 37273733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797 3803 38213823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 39073911 3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947 3967 39894001 4003 4007 4013 4019 4021 4027 4049 4051 40574073 4079 4091 4093 4099 4111 4127 4129 4133 41394153 4157 4159 4177 4201 4211 4217 4219 4229 42314241 4243 4253 4259 4261 4271 4273 4283 4289 42974327 4337 4339 4349 4357 4363 4373 4391 4397 44094421 4423 4441 4447 4451 4457 4463 4481 4483 44934507 4513 4517 4519 4523 4547 4549 4561 4567 45834591 4597 4603 4621 4637 4639 4643 4649 4651 46574663 4673 4679 4691 4703 4721 4723 4729 4733 47514759 4783 4787 4789 4793 4799 4801 4813 4817 48314861 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6637 6653 6659 6661 66736679 6689 6691 6701 6703 6709 6719 6733 6737 67616763 6779 6781 6791 6793 6803 6823 6827 6829 68336841 6857 6863 6869 6871 6883 6899 6907 6911 69176947 6949 6959 6961 6967 6971 6977 6983 6991 69977001 7013 7019 7027 7039 7043 7057 7069 7079 71037109 7121 7127 7129 7151 7159 7177 7187 7193 72077211 7213 7219 7229 7237 7243 7247 7253 7283 72977307 7309 7321 7331 7333 7349 7351 7369 7393 74117417 7433 7451 7457 7459 7477 7481 7487 7489 74997507 7517 7523 7529 7537 7541 7547 7549 7559 75617573 7577 7583 7589 7591 7603 7607 7621 7639 76437649 7669 7673 7681 7687 7691 7699 7703 7717 77237727 7741 7753 7757 7759 7789 7793 7817 7823 78297841 7853 7867 7873 7877 7879 7883 7901 7907 79197927 7933 7937 7949 7951 7963 7993 8009 8011 80178039 8053 8059 8069 8081 8087 8089 8093 8101 81118117 8123 8147 8161 8167 8171 8179 8191 8209 82198221 8231 8233 8237 8243 8263 8269 8273 8287 82918293 8297 8311 8317 8329 8353 8363 8369 8377 83878389 8419 8423 8429 8431 8443 8447 8461 8467 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算出的结果和质数定理算出的1229个质数相同，可自行验证。

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

上面简单介绍了10000以内质数的一个求解方法，下面说两个数学上的方法：

用筛法求素数。
简单介绍一下厄拉多塞筛法。厄拉多塞是一位古希腊数学家，他在寻找素数时，采用了一种与众不同的方法：先将2－N的各数写在纸上：
在2的上面画一个圆圈，然后划去2的其他倍数；第一个既未画圈又没有被划去的数是3，将它画圈，再划去3的其他倍数；现在既未画圈又没有被划去的第一个数 是5，将它画圈，并划去5的其他倍数……依次类推，一直到所有小于或等于N的各数都画了圈或划去为止。这时，表中画了圈的以及未划去的那些数正好就是小于 N的素数。
这很像一面筛子，把满足条件的数留下来，把不满足条件的数筛掉。由于这种方法是厄拉多塞首先发明的，所以，后人就把这种方法称作厄拉多塞筛法。
在计算机中，筛法可以用给数组单元置零的方法来实现。具体来说就是：首先开一个数组：a[i]，i=1，2，3，…，同时，令所有的数组元素都等于下标 值，即a[i]=i，当i不是素数时，令a[i]=0 。当输出结果时，只要判断a[i]是否等于零即可，如果a[i]=0，则令i=i+1，检查下一个a[i]。
筛法是计算机程序设计中常用的算法之一。

借用一张图来演示：

代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <iomanip>using namespace std;int a[10005];void init(){for (int i = 0; i <= 10000; i++) {a[i] = i;}}void solve(){for (int i = 2; i <= 10000; i++) {while (a[i] == 0) {i++;}for (int k = 2, j = k * i; j <= 10000; j = (++k) * i) {a[j] = 0;}}}void printAns(){int line = 0;for (int i = 2; i < 10000; i++) {while (a[i] == 0) {i++;}if (i >= 10000) {break;}if (line != 0 && line % 10 == 0) {cout << endl;}cout << setw(5) << i;line++;}cout << "\n10000以内的质数个数为：" << line << endl;}int main(){init();solve();printAns();return 0;}

去第一种结果相同。

用6N±1法求素数。
任何一个自然数，总可以表示成为如下的形式之一：
6N，6N+1，6N+2，6N+3，6N+4，6N+5 (N=0，1，2，…)
显然，当N≥1时，6N，6N+2，6N+3，6N+4都不是素数，只有形如6N+1和6N+5的自然数有可能是素数。所以，除了2和3之外，所有的素数都可以表示成6N±1的形式(N为自然数)。
根据上述分析，我们可以构造另一面筛子，只对形如6 N±1的自然数进行筛选，这样就可以大大减少筛选的次数，从而进一步提高程序的运行效率和速度。
在程序上，我们可以用一个二重循环实现这一点，外循环i按3的倍数递增，内循环j为0－1的循环，则2(i+j)-1恰好就是形如6N±1的自然数。