判断一点是否在三角形的外接圆内

在平面上，如果已知△P0P1P2的三个顶点坐标P0(x0,y0), P1(x1,y1), P2(x2,y2)和另一点P的坐标(x,y)，要判断点P是否在△P0P1P2内。

这里给出两种判断方法，第一种方法是先求出△P0P1P2的外接圆圆心坐标，然后得到三角形的半径，比较半径和圆心到点P的距离，就能判断点P和外接圆的位置关系。第二种方法是选择△P0P1P2的一条边作为界线，如边P0P2，然后根据点P1和点P是否在P0P2同侧，比较∠P0P1P2和∠P0PP2的大小，判断点P和外接圆的位置关系。

---

第一种方法

三角形的外心坐标公式为：

x=∣∣∣∣∣x20+y20x21+y21x22+y22y0y1y2111∣∣∣∣∣2∣∣∣∣∣x0x1x2y0y1y2111∣∣∣∣∣,y=∣∣∣∣∣x0x1x2x20+y20x21+y21x22+y22111∣∣∣∣∣2∣∣∣∣∣x0x1x2y0y1y2111∣∣∣∣∣

根据这个外心的坐标公式计算出外接圆的圆心坐标，就能得到圆的半径，从而判断出点P与外接圆的位置关系。
定义平面点的数据结构：

struct PointTri{    double x;    // x 坐标    double y;    // y 坐标};

求解行列式用到能够计算N阶行列式的子函数：

// 求 aij 的代数余子式vector< vector<double> > Cofactor(vector< vector<double> > vecDet_ij, int i, int j){    int k;    vector< vector<double> > vecReturn;    vector< vector<double> >::iterator veck;    // vector<double>::iterator vecl;    // 初始化二维容器 vecReturn    k = 0;    for (veck=vecDet_ij.begin(); veck<vecDet_ij.end(); veck++)    {        if ((veck - vecDet_ij.begin()) != i)        {            vecReturn.push_back(*veck); // 加入除第 i 行外的所有行            vecReturn[k].erase(vecReturn[k].begin() + j);            k++;        }    }    return vecReturn;}// 计算行列式的值, 采用递归double det_Array(vector< vector<double> > vecDet){    int i;    double Sum = 0.0;    vector< vector<double> >::iterator vec_Row = vecDet.begin();    vector<double>::iterator vec_Column = (*vec_Row).begin();    if (vecDet.size() == 1)    {        return *vec_Column;    }    else    {        i = 0;        for (; vec_Column < (*vec_Row).end(); vec_Column++)        {            Sum = Sum + pow(-1.0, i) * (*vec_Column) * det_Array( Cofactor(vecDet, 0, i++) );        }        return Sum;    }}

---

主要的判断函数为：

// 判断点 Ｐ 是否在圆内bool InnerOROut(PointTri Vrtx0, PointTri Vrtx1, PointTri Vrtx2, PointTri Vrtx){    double Radius_2;  // 半径的平方/*    double Radius_2T1, Radius_2T2;*/    double Cntrx, Cntry; //圆心坐标    // 求圆心和半径    vector< vector<double> > vecDet1, vecDet2;    vector<double> A, B, C;    // 计算圆心的 x 坐标    A.push_back(pow(Vrtx0.x, 2.0) + pow(Vrtx0.y, 2.0)); A.push_back(Vrtx0.y); A.push_back(1.0);    B.push_back(pow(Vrtx1.x, 2.0) + pow(Vrtx1.y, 2.0)); B.push_back(Vrtx1.y); B.push_back(1.0);    C.push_back(pow(Vrtx2.x, 2.0) + pow(Vrtx2.y, 2.0)); C.push_back(Vrtx2.y); C.push_back(1.0);    vecDet1.push_back(A); vecDet1.push_back(B); vecDet1.push_back(C);    A.clear(); B.clear(); C.clear();    A.push_back(Vrtx0.x); A.push_back(Vrtx0.y); A.push_back(1.0);    B.push_back(Vrtx1.x); B.push_back(Vrtx1.y); B.push_back(1.0);    C.push_back(Vrtx2.x); C.push_back(Vrtx2.y); C.push_back(1.0);    vecDet2.push_back(A); vecDet2.push_back(B); vecDet2.push_back(C);    Cntrx = det_Array(vecDet1) / (2 * det_Array(vecDet2));    // 计算圆心的 y 坐标    vecDet1.clear(); vecDet2.clear();    A.clear(); B.clear(); C.clear();    A.push_back(Vrtx0.x); A.push_back(pow(Vrtx0.x, 2.0) + pow(Vrtx0.y, 2.0)); A.push_back(1.0);    B.push_back(Vrtx1.x); B.push_back(pow(Vrtx1.x, 2.0) + pow(Vrtx1.y, 2.0)); B.push_back(1.0);    C.push_back(Vrtx2.x); C.push_back(pow(Vrtx2.x, 2.0) + pow(Vrtx2.y, 2.0)); C.push_back(1.0);    vecDet1.push_back(A); vecDet1.push_back(B); vecDet1.push_back(C);    A.clear(); B.clear(); C.clear();    A.push_back(Vrtx0.x); A.push_back(Vrtx0.y); A.push_back(1.0);    B.push_back(Vrtx1.x); B.push_back(Vrtx1.y); B.push_back(1.0);    C.push_back(Vrtx2.x); C.push_back(Vrtx2.y); C.push_back(1.0);    vecDet2.push_back(A); vecDet2.push_back(B); vecDet2.push_back(C);    Cntry = det_Array(vecDet1) / (2 * det_Array(vecDet2));    // 外接圆的半径的平方    Radius_2 = pow(Vrtx0.x - Cntrx , 2.0) + pow(Vrtx0.y - Cntry, 2.0);    // 判断 Vrtx0 是否在外接圆内或其上，若是，返回 true,否则，返回 false    double Rad_V0Cntr;    Rad_V0Cntr = pow(Vrtx.x - Cntrx , 2.0) + pow(Vrtx.y - Cntry, 2.0);    if (Rad_V0Cntr <= Radius_2)    {        return true;    }     else    {        return false;    }}

---

这种采用通用的计算行列式值的方法代码会比较多，针对三阶行列式的求解可以采用固定的公式，展开求解，针对这个特定的求解问题会显得简化一些：

// 判断点 Ｐ 是否在圆内bool InnerOROut1(PointTri Vrtx0, PointTri Vrtx1, PointTri Vrtx2, PointTri Vrtx){    double Radius_2;  // 半径的平方    double Cntrx, Cntry; //圆心坐标    // 求圆心和半径    double a1 = (Vrtx1.x - Vrtx0.x), b1 = (Vrtx1.y - Vrtx0.y);    double c1 = (a1*a1 + b1*b1) / 2.0;    double a2 = (Vrtx2.x - Vrtx0.x), b2 = (Vrtx2.y - Vrtx0.y);    double c2 = (a2*a2 + b2*b2) / 2.0;    double d = (a1*b2 - a2*b1);    Cntrx = Vrtx0.x + (c1 * b2 - c2 * b1) / d;    Cntry = Vrtx0.y + (a1 * c2 - a2 * c1) / d;    Radius_2 = pow(Vrtx0.x - Cntrx , 2.0) + pow(Vrtx0.y - Cntry, 2.0);    // 判断 Vrtx0 是否在外接圆内或其上，若是，返回 true,否则，返回 false    double Rad_V0Cntr;    Rad_V0Cntr = pow(Vrtx.x - Cntrx , 2.0) + pow(Vrtx.y - Cntry, 2.0);    if (Rad_V0Cntr <= Radius_2)    {        return true;    }     else    {        return false;    }}

主函数的调用示例：

void main(){    system("color F1");// -------------------------------------    PointTri P0, P1, P2, P;    P0.x = 0.0; P0.y = 0.0;    P1.x = 0.0; P1.y = 1.0;    P2.x = 1.0; P2.y = 0.0;    P.x = 0.5; P.y = 0.5;    // if (InnerOROut1(P0, P1, P2, P))    if (InnerOROut(P0, P1, P2, P))    {        cout << "P in the circle" << endl;    }    else    {        cout << "P not in the circle" << endl;    }// -------------------------------------    system("pause");}

---

第二种方法

基本思路：
step1 计算∠P0P1P2和∠P0PP2的大小，两个角的大小在[0,π]范围内。
  step1.1 如果∠P0PP2=0，则点P不在圆内，结束；如果∠P0PP2=π，则点P在圆内，结束。
setp2 判断点P和P1是否在P0P2同侧。
  step2.1 这里通过判断向量积 P1P0−→−−×P1P2−→−− 与PP0−→−×PP2−→− 是否同号，如果同号则在同一侧，否则在两侧。
step3 如果点P和P1是在P0P2同一侧，若∠P0P1P2≤∠P0PP2，则点P在圆内，否则在圆外，结束；如果点P和P1是在P0P2不在侧，若∠P0P1P2+∠P0PP2≥π，则点P在圆内，否则在圆外，结束。

// 若果点 Vrtx 在外接圆内或在圆上返回 true, 否则返回 falsebool InnerOROut2(PointTri Vrtx0, PointTri Vrtx1, PointTri Vrtx2, PointTri Vrtx){    double PI = 3.14159265358979323846;    // 选择 P0P1 作为边, 相关的向量定义    PointTri P2P0, P2P1, PP0, PP1;    P2P0.x = Vrtx0.x - Vrtx2.x;    P2P0.y = Vrtx0.y - Vrtx2.y;    P2P1.x = Vrtx1.x - Vrtx2.x;    P2P1.y = Vrtx1.y - Vrtx2.y;    PP0.x = Vrtx0.x - Vrtx.x;    PP0.y = Vrtx0.y - Vrtx.y;    PP1.x = Vrtx1.x - Vrtx.x;    PP1.y = Vrtx1.y - Vrtx.y;    // 计算角 P0P2P1,    double angle_P0P2P1;    if (P2P0.x * P2P0.x + P2P0.y * P2P0.y < 0.000001 || P2P1.x * P2P1.x + P2P1.y * P2P1.y < 0.000001)    {        return false;    }     else    {        angle_P0P2P1 = acos((P2P0.x * P2P1.x + P2P0.y * P2P1.y) /             (sqrt(P2P0.x * P2P0.x + P2P0.y * P2P0.y) * sqrt(P2P1.x * P2P1.x + P2P1.y * P2P1.y)));    }    // 计算角 P0PP1,    double angle_P0PP1;    if (PP0.x*PP0.x + PP0.y*PP0.y < 0.000001 || PP1.x*PP1.x + PP1.y*PP1.y < 0.000001)    {        // 点 P 与点 P0,P1中的一点重合        return true;    }     else    {        angle_P0PP1 = acos((PP0.x*PP1.x + PP0.y*PP1.y) /             (sqrt(PP0.x*PP0.x + PP0.y*PP0.y) * sqrt(PP1.x*PP1.x + PP1.y*PP1.y)));    }    if (angle_P0PP1 < 0.000001)    {        // 点 P 在线段 P0P1 外，但三点共线        return false;    }    if ((PI/2.0 - angle_P0PP1) < 0.000001)    {        // 点 P 在线段 P0P1 内，三点共线        return true;    }    // 判断点 P2 和 P 在否在直线 P0P1 的同一侧    // 通过向量积来判断，PP0 X PP1, P2P0 X P2P1    double product_P2 = P2P0.x * P2P1.y - P2P1.x * P2P0.y;    double product_P = PP0.x * PP1.y - PP1.x * PP0.y;    if (product_P2 * product_P > 0) // 点 P,P2同侧    {        if (angle_P0P2P1 <= angle_P0PP1)        {            // 在同侧时，角P0P2P1 <= 角P0PP1，点 P 在圆内或圆上            return true;        }         else        {            return false;        }    }    else    {        // 不在同侧时        if (angle_P0PP1+angle_P0P2P1 - PI/2.0 >= 0.0)        {            return true;        }        else        {            return false;        }    }}