二叉排序树

二叉排序树是具有以下性质的二叉树：

1）如果左子树不为空，那么左子树的值均小于根节点的值，如果右子树不为空，那么右子树的值均大于根节点的值；

2）左右子树也分别是二叉排序树；

又称为二叉搜索树，二叉查找树。

二叉树的基本运算包括查找，插入和删除，其中以删除最难，这里就不介绍查找。

二叉树的插入：

需要认识到，二叉排序树插入的节点一定是作为叶子节点添加进去的；

//二叉排序树的插入public static Node InsertNode(Node t,KeyType k){Node f,p,s;//声明几个节点，s是新插入的点，p是s的双亲，f是p的双亲p = t;while(p){if(p.data == k){return t;System.out.println("存在k，不需要插入");}else{f = p;if(p.data<k) p = p.rchild;else p =p.lchild;}｝//找到要插入的点的双亲ps = new Node(k);s.lchild=null;s.rchild=null;//新建节点if(t==null) t=s;else if(p.data<k) p.rchild = s;else p.lchild = s;//根据大小插入sreturn t;}

在二叉排序树中删除一个节点：

在二叉排序树中删除一个节点，首先要查找，如果没有这个点，查找失败，否则，根据下面的方法进行删除。
设待删除节点指针p，双亲节点为f，分三种情况：
1）p为叶子节点，那么删除此节点不会影响排序树的特性，直接删除，只需要把该节点的双亲节点相应位置置为null
2）p节点是单支节点，即p节点只有左子树Pl或者右子树Pr，此时只需要用Pl或Pr替代p的位置即可
3）p节点是双支节点，既有左子树，又有右子树，此时要按中序遍历保持排序树特性来进行删除，有两种方法：
1，用p的右子树pr代替以p为根的子树，即以pr为根的子树上升，再根据中序遍历序列（中序遍历保持不变），调整p的原左子树pl，
让他作为以pr为根的子树中序遍历时第一个节点的左子树（保证中序遍历是pl依然是在pr前面）；
2，用p的直接直接后继（或直接前驱）代替p节点，这个节点只能是叶子或者单支节点（肯定存在），再按1）或2）删除p；
从上述的调整方案可以看到，按3）中的1方法，排序树的长度是可能会增加的，而按照2）方法排序数的高度肯定不会增加，
还有可能减小。
下面按2)方法实现一个节点的删除;

public static Node DeleteNode(Node <DataType> t,KeyType k)//在根节点为t的二叉排序树中删除元素为k的节点，并返回根节点{//声明几个节点，p是待删除节点，f是p的双亲节点，s是p的中序遍历中的直接后继节点，pre是s的双亲节点Node <DataType> f,s,p,r,pre;//先搜索待删节点p = t;while(p && p.data!=k){f = p;if(p.data<k)p = p.lchild;elsep = p.rchile;}if(p==null)｛System.out.println("不存在此节点，删除失败！");return t;｝if(p.lchild && p.rchild){pre = p;s = p.rchild;while(s.lchild!=null){pre = s;s = s.lchild;}//查找到p点中序遍历的直接后继节点sp.data = s.data;  // s点取代待删p点r = s.rchild; // s的右子树上升（如果存在）if(pre == p)  pre.rchild = r;else  pre.lchild = r;}else  //情况1）和2） ｛if(p.lchild == null) r = p.lchild;else if(p.rchild == null) r = p.rchild;if(f == null){return t;//待删的是根节点}else if(f.lchild==p) f.lchild = r;else if(f.rchild==p) f.rchild ==r;｝return t;}