数学分析之曲面积分

设椭球面x22+y22+z2=1的上半部分，而d(x,y,z)为从原点到椭球上点P(x,y,z)处的切平面的距离，求∫Szd(x,y,z)ds
解
1.求切平面方程
法一、偏导法
设F(x,y,z)=x22+y22+z2−1
∂F∂x=x,∂F∂y=y,∂F∂z=2z
∴在P(x,y,z)处的切平面法向量n=(x,y,2z)
∴所取求平面方程为
x(X−x)+y(Y−y)+2z(Z−z)=0
化简得
xX+yY+2zZ−2=0
法二、结论
椭球x2a2+y2b2+z2c2=1上一点P(x0,y0,z0)的切平面方程为xx0a2+yy0b2+zz0c2=1
∴所取求平面方程为
xX2+yY2+zZ=1
化简得
xX+yY+2zZ−2=0
2.求点到平面距离
d(x,y,z)=|x×0+y×0+2z×0−2|x2+y2+(2z)2√=2x2+y2+4z2√
3.求面积微元
S:z=1−x22−y22−−−−−−−−−−√
∂z∂x=12(1−x22−y22)−12(−x)=−x2z
∂z∂y=12(1−x22−y22)−12(−y)=−y2z
dS=1+(z′x)2+(z′y)2−−−−−−−−−−−−−√dxdy=1+x24z2+y24z2−−−−−−−−−−−√dxdy=4z2+x2+y2√2|z|dxdy
4.积分
∫Szd(x,y,z)ds=∫Dxyz2x2+y2+4z2√4z2+x2+y2√2|z|dxdy
=∫Dxyx2+y2+4z24dxdy
=∫Dxy4−x2−y24dxdy
=∫2π0dθ∫2√04−ρ24ρdρ
=2π(12ρ2−ρ416)|2√0
=2π34
=32π