关键路径

1.拓扑排序

在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，这样的有向图为顶点表示活动的网，我们成为AOV网（Activity On Vertex）.

设G=（V，E）是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列V1，V2...Vn若满足从顶点Vi到Vj有一条路径，则在顶点序列中顶点Vi必须在Vj之前，这样的顶点序列称为一个拓扑序列。

2.拓扑排序算法

（1）从AOV网中选择一个入度为0的顶点输出，然后删去此顶点，并删除以此顶点为尾的弧。

（2）重复上述步骤直到输出全部顶点或者AOV中不存在入度为0的顶点为止。

3.关键路径

（1）在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，用边上的权值表示活动的持续时间，这种有向图的边表示活动的网，我们称之为AOE网（Activity On Edge）.

（2）路径上各个活动所持续的时间之和称为路径长度，从源点到汇点具有最大长度的路径叫做关键路径，在关键路径上的活动叫关键活动。

（3）关键路径算法

          1）事件最早发生时间etv（earliest time of vertex）:顶点Vk的最早发生时间

          2）事件最晚发生时间ltv（latest time of vertex）:顶点Vk的最晚发生时间，也就是每个顶点对应的事件最晚需要开始的时间，超出此时间将会延误整个工期。

         3）活动最早开工时间ete（earliest time of edge）:弧ak最早发生时间。

         4）活动最早开工时间lte（latest time of edge）:弧ak最晚发生时间，也就是不推迟工期的最晚开工时间。

(1)求etv：

V0=0

V1=V0+3=3

V2=v0+4=4

V3=max{V1+5=8，V2+8=12}=12

V4=max{V1+6=9,V3+3=15}=15

V5=V2+7=11

V6=V4+9=24

V7=max{V4+4=19,V5+6=17}=19

V8=V7+5=24

V9=max{V6+2=26,V8+3=27}=27

(2)求ltv：

V9=27

V8=V9-3=24

V7=V8-5=19

V6=V9-2=25

V5=V7-6=13

V4=min{V7-4=15,V6-9=16}=15

V3=V4-3=12

V2=min{V5-7=6,V3-8=4}=4

V1=min{V4-6=9,V3-5=7}=7

v0=min{V1-3=4,V2-4=0}=0

(3)找出etv和ltv相等的点就是关键路径

关键路径为V0-V2-V3-V4-V7-V8-V9

----------大话数据结构